因果関係

制御理論において、因果システム（物理システムまたは非予測システムとも呼ばれる）とは、出力が過去と現在の入力に依存するが、将来の入力には依存しないシステム、つまり、出力は の値の入力のみに依存するシステムです。 ${\displaystyle y(t_{0})}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t\leq t_{0}}$

関数の出力がいつでも過去と現在の入力値にのみ依存するという考えは、一般に因果性と呼ばれる特性によって定義されます。将来からの入力値にいくらか依存するシステム（過去または現在の入力値に依存する可能性に加えて）は非因果的または非因果的システムと呼ばれ、将来の入力値のみに依存するシステムは反因果的システムと呼ばれます。一部の著者は反因果的システムを、将来と現在の入力値のみに依存するシステム、またはより簡単に言えば過去の入力値に依存しないシステムと定義していることに注意してください。^[1]

古典的には、自然または物理的現実は因果関係のあるシステムであると考えられてきました。特殊相対性理論や一般相対性理論を含む物理学では、因果関係のより慎重な定義が必要であり、これは「因果関係 (物理学)」で詳しく説明されています。

システムの因果関係はデジタル信号処理でも重要な役割を果たします。デジタル信号処理では、フィルタは因果関係になるように構築されます。因果関係が欠如している部分を解消して実現可能にするために、非因果的な定式化を変更することもあります。詳細については、因果フィルタを参照してください。

因果システムの場合、システムのインパルス応答は、出力を決定するために入力の現在値と過去の値のみを使用する必要があります。この要件は、線形性に関係なく、システムが因果的であるための必要かつ十分な条件です。離散的または連続的なケースのどちらにも同様のルールが適用されることに注意してください。将来の入力値を必要としないこの定義により、システムはリアルタイムで信号を処理するためには因果的である必要があります。^[2]

定義1:へのマッピングシステムが因果関係にあるのは、任意の入力信号ペア、および任意の の選択に対して、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{1}(t)}$${\displaystyle x_{2}(t)}$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},}$

対応する出力は

${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.}$

定義2: は定数係数の線形微分方程式で記述される任意のシステムのインパルス応答であるとする。システムが因果的であるのは、 ${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle h(t)=0,\quad \forall \ t<0}$

そうでなければ、それは因果関係がありません。

次の例は、入力と出力を持つシステムの場合です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

• メモリレスシステム

${\displaystyle y\left(t\right)=1-x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)}$

• メモリ対応システム

${\displaystyle y\left(t\right)=1+x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)}$

• 自己回帰フィルタ

${\displaystyle y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau }$

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau }$

• 中心移動平均

${\displaystyle y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}}$

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau }$

• 先読み

${\displaystyle y_{n}=x_{n+1}}$

• 線形時不変 (LTI) システム

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}x(\tau )h(t-\tau )\,d\tau }$

• 移動平均フィルター

${\displaystyle y[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}x[nk]}$

• スムージングフィルター

${\displaystyle y(t)={\frac {1}{T}}\int _{tT/2}^{t+T/2}x(\tau )\,d\tau }$

• 理想的なローパスフィルタ

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\mathrm {sinc} (t-\tau )\,d\tau }$

• 将来の入力依存

${\displaystyle y(t)=\int _{t}^{\infty }x(\tau )\,d\tau }$

• 因果フィルター
• 因果モデル

• オッペンハイム、アラン V.; ウィルスキー、アラン S.; ナワブ、ハミド (1998)。信号とシステム。ピアソン エデュケーション。ISBN 0-13-814757-4。