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数学において、ニュートンの楕円に関する定理は、滑らかな凸楕円の割線によって切り取られる面積は、割線の代数関数ではないことを述べている。
アイザック・ニュートンはこれを『プリンキピア』第1巻第6 節の補題28として述べ、軌道上を運動する惑星の位置が時間の代数関数ではないことを示すためにこれを用いた。ニュートンが「楕円」という言葉で何を意味していたのかを正確に述べていないため、この定理が正しいかどうかについては議論があり、「楕円」という言葉の解釈によっては定理は正しいが、他の解釈では誤りとなる。「楕円」が単に連続した閉じた凸曲線を意味するならば、三角形やホイヘンスのレムニスケートy 2 = x 2 − x 4のローブの1つなどの反例が存在するが、アーノルド（1989）は、「楕円」が無限に微分可能な凸曲線を意味するならば、ニュートンの主張は正しく、彼の議論は厳密な証明の本質的なステップを備えていると指摘した。
ヴァシリエフ（2002）はニュートンの定理を高次元に一般化した。
ニュートンの原文（ニュートン 1934 、第1巻第6節第28補題）の英語訳は以下のとおりです。
現代の数学用語で言えば、ニュートンは基本的に次の定理を証明した。
言い換えれば、ニュートンの記述における「楕円」とは「凸状の滑らかな曲線」を意味するべきである。すべての点で無限回微分可能であることが必要である。任意の正の整数nに対して、一点を除いてすべての点で滑らかであり、残りの一点でn回微分可能であり、割線によって切り取られた面積が代数的であるような代数曲線が存在する。
ニュートンは、同様の議論によって、2点間の（滑らかな凸状の）楕円の弧長は、その2点の代数関数では与えられないことが分かると指摘した。
ニュートンは原点Pを楕円の内部に置き、極座標で点( r , θ )の螺旋を考えました。点Pからの距離rは、 Pから角度0とθで引かれた直線によって切り取られる面積です。そして、この螺旋はPを通る直線と無限に交点を持つため、代数的になり得ないことに気づき、割線によって切り取られる面積は割線の代数関数にはなり得ないことを突き止めました。
この証明には、楕円、ひいては螺旋が滑らかであることが必要である。そうでなければ、螺旋は異なる代数曲線の断片が無限に連なったものになってしまう可能性がある。これは、滑らかでない楕円に対するニュートンの定理の様々な「反例」で起こる現象である。