N体振り付け

n体振り付けは、すべての物体が単一の軌道に沿って均等に広がるn 体問題の周期的解法です。^[1]この用語は、2000 年に Chenciner と Montgomery によって考案されました。^{[1] [2] [3]} そのような軌道の 1 つは、正三角形の頂点に等しい質量がある円軌道です。もう 1 つは、1993 年にCristopher Moore ^{[4]によって数値的に初めて発見され、その後 Chenciner と Montgomery によって存在が証明された 8 の字軌道です。振り付けは}変分法を使用して発見できます。[ ^1]さらに最近では、平面の場合の分類を試みるために位相的アプローチが使用されています。^[5] N > 2 の N 体問題を明示的な方法で解くことは不可能であるため、振り付けなどの特定の解法に関する知識は非常に役立ちます。

コンピュータを使った数値的手法は、振り付けの発見と理解において、その誕生以来重要な役割を果たしてきました。1993 年、ムーアは変分法の直接法の数値的実装を使用して、「8」の振り付けを発見しました。その後、1999 年から 2000 年の再発見の時期に、カルレス・シモは綿密な数値的調査を通じて、複雑な存在証明の妥当性に関する疑問を払拭しました。^[6]

数値実装プロセスは、パス空間の有限次元近似内での勾配探索に要約できます。1 つのアプローチでは、パスを均一な時間間隔で離散化します。もう 1 つの効果的な方法は、アクションを振り付け曲線のフーリエ成分の関数として表現し、フーリエ級数を有限次数で切り捨てることです。切り捨て次数を増やし、結果として生じる最小化フーリエ係数の変化を観察することで、収束を確認できます。これらの変化が指定された許容範囲内に収まる場合、結果は成功と見なすことができます。さらに改良するには、Simó または Moore と Nauenberg の研究を参照してください。^[7]

2013 年、モンタルディとステックレスは、平面の 𝑛 体衝突のない振り付けのすべての可能な対称群を分類しました。これは、2 つの無限族と、𝑛 が奇数の場合には 3 つの例外グループに分けることができます。彼らの研究の 2 番目の部分は、特定の対称性を持つループの空間の位相を識別するために使用される同変基本群の開発です。彼らは、この位相が、完全編組群内の純粋編組群の特定のコセット、および対応するコセット内の要素の中心化にリンクされていることを示しています。さらに、彼らの研究は、特定の対称性を持つループのセットの接続されたコンポーネントを分類することによって対称性の分類を洗練し、強い力のポテンシャルによって支配される 𝑛 体システムにおける多くの新しい振り付けの発見につながっています。^[8]

• クリス・ムーアの1993年の論文
• 8の字軌道を含む2次元および3次元軌道のアニメーション
• グレッグ・ミントンの振り付けアプレットは、ユーザーが独自に設計した軌道を数値的に検索できるようにします。
• 3 つの物体が 8 の字の軌道で連続して回転するソリューションのアニメーション
• いくつかのNボディ振り付けのYouTubeビデオ
• アメリカ数学会のシモの振付に関する特集コラム
• 平面的な振り付けのアニメーションコレクション