一般化された等差数列

数学 において、一般化等差数列（または多重等差数列）は、多重公差を備えた等差数列の一般化です。等差数列は単一の公差によって生成されますが、一般化等差数列は多重公差によって生成できます。たとえば、数列は 等差数列ではありませんが、17 から始めて 3または5 を追加することで生成されるため、多重公差によって生成できます。半線形セットは、この考え方を複数の次元に一般化したものです。つまり、整数のセットではなく、整数のベクトルのセットです。 ${\displaystyle 17,20,22,23,25,26,27,28,29,\dots }$

次元dの有限一般化等差数列、または単に一般化等差数列（GAP）は、次の形式の 集合として定義される。

${\displaystyle \{x_{0}+\ell _{1}x_{1}+\cdots +\ell _{d}x_{d}:0\leq \ell _{1}<L_{1},\ldots ,0\leq \ell _{d}<L_{d}\}}$

ここで です。積は一般化等差数列のサイズと呼ばれます。集合のいくつかの要素が複数の表現を持つ場合、集合の濃度はサイズと異なる場合があります。濃度がサイズに等しい場合、数列は適切な と呼ばれます。一般化等差数列は、より高次元のグリッドの への射影と考えることができます。この射影は、一般化等差数列が適切な場合にのみ 単射です。${\displaystyle x_{0},x_{1},\dots ,x_{d},L_{1},\dots ,L_{d}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle L_{1}L_{2}\cdots L_{d}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

形式的には、等差数列は の形式の無限列であり、ここでと は内の固定ベクトルであり、それぞれ初期ベクトルと公差と呼ばれる。 の部分集合が線形であるとは、次の形式である場合 に言う。${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} +\mathbf {v} ',\mathbf {v} +2\mathbf {v} ',\mathbf {v} +3\mathbf {v} ',\ldots }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {v} '}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$

${\displaystyle \left\{\mathbf {v} +\sum _{i=1}^{m}k_{i}\mathbf {v} _{i}\,\colon \,k_{1},\dots ,k_{m}\in \mathbb {N} \right\},}$

ここで、は整数であり、は 内の固定ベクトルです。 のサブセットは、線形集合の有限和である場合に半線形であると言われます。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {N} ^{d}}$

半線型集合はプレスブルガー算術で定義できる集合と全く同じである。^[1]

• フライマンの定理

• ナサニソン、メルヴィン B. (1996)。加法数論：逆問題と和集合の幾何学。数学大学院テキスト。第 165 巻。シュプリンガー。ISBN 0-387-94655-1.ZBL0859.11003  。​