ミッシェル構造

ミッシェル構造は、 AGMミッシェルが1904年に発表した頻繁に参照される論文で定義された基準に基づいて最適な構造です。 ^[1]

ミシェルは、「フレーム（今日ではトラスと呼ばれる）は、それが占める空間が適切な小さな変形を受けることができ、フレームのすべてのバーの歪みがそれらの長さの等しい割合で増加し、空間の任意の要素の長さの割合の変化よりも小さくならない場合、同じ適用力の下で任意のフレーム構造で可能な材料の経済性の限界を達成します（最適です）」と述べています。

上記の結論は、マクスウェルの荷重経路定理に基づいています。

${\displaystyle \sum _{}l_{p}f_{p}-\sum _{}l_{q}f_{q}=C}$

ここで、は長さ の任意の張力要素における張力値、は長さ の任意の圧縮要素における圧縮値、は構造に加えられる外部荷重に基づく定数です。 ${\displaystyle f_{p}}$${\displaystyle l_{p}}$${\displaystyle f_{q}}$${\displaystyle l_{q}}$${\displaystyle C}$

マクスウェルの荷重経路定理に基づくと、 特定の外部荷重セットに対する張力部材の荷重経路を短縮すると、同じ値だけ圧縮要素の荷重経路も短縮されます。最小荷重経路を持つ構造は、コンプライアンスが最小です(これらの荷重の値によって重み付けされた適用荷重のポイントで最小の重み付けたわみを持つ)。結果として、ミッシェル構造はコンプライアンスが最小のトラスです。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{}l_{p}f_{p}}$${\displaystyle \textstyle \sum _{}l_{q}f_{q}}$

1. トラスのすべてのバーには、同じ符号の荷重（引張または圧縮）がかかります。

必要な材料の量は、特定の負荷セットのすべてのケースで同じです。Michell は、必要な材料の最小量を次のように定義しています。 ${\textstyle V_{m}={\frac {\sum _{}lf}{P}}}$

材料の許容応力は どこにありますか。${\displaystyle P}$

2. テンションバーとコンプレッションバーの混合

より一般的なケースは、適切な変形の前後で直交系の曲線を形成するバーで構成されるフレームです。2 次元直交系は、同じシリーズの任意の 2 つの隣接する曲線間の傾斜が全長にわたって一定である場合に限り、1 シリーズの曲線を引き伸ばし、もう 1 シリーズの曲線を同じひずみで圧縮した後も直交状態を維持します。この要件により、直交する一連の曲線は次のいずれかになります。

a) 接線とインボリュートのシステムまたは

b) 交差する対数螺旋のシステム。

直線や円は対数螺旋の特殊なケースであることに注意してください。

ミッシェルは最適なフレームの例をいくつか示しました。

近年、離散最適トラスに関する研究が数多く行われています。^{[2] [3] [4]}ミッシェルトラスは連続体（無限数の部材）に対して定義されていますが、これらもミッシェルトラスと呼ばれることがあります。離散最適トラスのテーマへの重要な貢献は、相対変位円法を使用してそのようなトラス（通常は片持ち）の最適トポロジーに到達したウィリアム・プラガーでした。プラガーの貢献を認めるために、離散ミッシェルトラスはプラガートラスと呼ばれることがあります。その後、片持ちプラガートラスの幾何学は、3点または3力の問題に対する最適離散トラスの部材間の特定の幾何学的関係に注目したマズレク 、ベイカー、およびトルトによって形式化されました^{[5] [6] 。}