メルニコフ距離

数学において、メルニコフ法は、周期的な摂動を受けるある種の動的システムにおけるカオスの存在を識別するためのツールです。

メルニコフ法は、周期的な摂動を受ける非自律的な滑らかな非線形システムにおけるカオス軌道の発生を予測するために、多くの場合に使用されます。この方法によれば、「メルニコフ関数」と呼ばれる関数を構築することができ、これを使用して動的システムの規則的な動作またはカオス的な動作を予測することができます。したがって、メルニコフ関数は、ポアンカレ マップ内の安定な多様体と不安定な多様体の間の距離の尺度を決定するために使用されます。さらに、この尺度がゼロに等しい場合、この方法により、それらの多様体は互いに横断的に交差し、その交差からシステムはカオスになります。

この方法は、1890年にH.ポアンカレ^[1]と1963年にV.メルニコフ^[2]によって考案され 、「ポアンカレ-メルニコフ法」とも呼ばれています。さらに、Guckenheimer & Holmes、^[3] Kuznetsov、^[4] S. Wiggins、^[5] Awrejcewicz & Holicke ^[6]などの多くの教科書でも説明されています。メルニコフ距離はカオス振動を予測するために使用できるため、多くの用途があります。^{[7]この方法では、ホモクリニック軌道と安定多様体の間の距離をゼロに設定することによって臨界振幅が求められます。KAM}定理に基づいて、ホモクリニック分岐が発生する2自由度の比較的弱い摂動ハミルトン系のパラメータセットを決定した最初の人物であるGuckenheimer & Holmesの場合と同様に。

次のようなシステムのクラスを考える。

$${\displaystyle {{\begin{array}{lcl}{\dot {x}}&=&{\frac {\partial H}{\partial y}}(x,y)+\epsilon g_{1}(x,y,t,\epsilon )\\{\dot {y}}&=&-{\frac {\partial H}{\partial x}}(x,y)+\epsilon g_{2}(x,y,t,\epsilon ),\end{array}}{(1)}}}$$またはベクトル形式で$${\displaystyle {{\dot {q}}=JDH(q)+\epsilon g(q,t,\epsilon )~\ ~\ {(2)}}}$$

ここ で、、、および${\displaystyle q=(x,y)}$${\displaystyle DH=\left({\frac {\partial H}{\partial x}},{\frac {\partial H}{\partial y}}\right)}$${\displaystyle g=(g_{1},g_{2})}$

${\displaystyle J=\left({\begin{array}{cc}0&1\\-1&0\\\end{array}}\right).}$

システム(1)は関心領域上で滑らかであり、は小さな摂動パラメータであり、は周期 の周期ベクトル関数であると仮定する。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle g}$${\displaystyle t}$${\displaystyle T={\dfrac {2\pi }{\omega }}}$

ならば、摂動のない系が存在する。 ${\displaystyle \epsilon =0}$

${\displaystyle {{\dot {q}}=JDH(q).~\ ~\ {(3)}}}$

このシステム（３）から、図１の位相空間を見て、以下の仮定を考慮する。

• A1 - この系には双曲不動点があり、ホモクリニック軌道でそれ自身に接続されている。  ${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle q_{0}(t)=(x_{0}(t),y_{0}(t));}$
• A2 - 系の内部は、周期の連続した周期軌道族で満たされており、${\displaystyle \Gamma _{p_{0}}}$${\displaystyle q^{\alpha }(t)}$${\displaystyle T^{\alpha}}$${\displaystyle \alpha \in (-1,0),}$${\displaystyle \Gamma _{p_{0}}=\{q\in \mathbb {R} ^{2}|q=q_{0}(t),t\in \mathbb {R} \}=W^{s}(p_{0})\cap W^{u}(p_{0})\cup \{p_{0}\}.}$

メルニコフ関数を得るには、時間依存性を取り除き、幾何学的利点を得るために、次のような巡回型の新しい座標を使用するなど、いくつかのトリックを使用する必要があります。次に、システム(1)をベクトル形式で次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \phi}$${\displaystyle \phi =\omega t+\phi _{0}.}$

${\textstyle {{\begin{array}{lcl}{\dot {q}}&=&JDH(q)+\epsilon g(q,\phi ,\epsilon )\\{\dot {\phi }}& =&\オメガ .\end{配列}}~\ ~\ {(4)}}}$

したがって、図 2 を見ると、および の3 次元位相空間には、非摂動システムの双曲型固定点が周期軌道になるということがわかります。 および によるの 2 次元の安定多様体と不安定多様体は、それぞれ と で表されます。 という仮定により、 と は2 次元ホモクリニック多様体に沿って一致します。 これは で表され、はホモクリニック接続上の点から点までの飛行時間です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1},}$${\displaystyle q\in \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \phi \in \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \gamma(t)=(p_{0},\phi(t)).}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle W^{s}(\gamma (t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma (t))}$${\displaystyle A1,}$ ${\displaystyle W^{s}(\gamma (t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma (t))}$${\displaystyle \Gamma _{\gamma }=\{(q,\phi )\in \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {S} ^{1}|q=q_{0}(-t_{0}),t_{0}\in \mathbb {R} ;\phi =\phi _{0}\in (0,2\pi ]\},}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle q_{0}(-t_{0})}$${\displaystyle q_{0}(0)}$

図3では、任意の点に対してベクトルが構築され、次のように垂直になります。したがって、変化し、は上のすべての点に移動するために使用されます。${\displaystyle p\equiv (q_{0}(-t_{0}),\phi _{0}),}$${\displaystyle \pi_{p}}$${\displaystyle \Gamma _{\gamma }}$${\displaystyle \pi _{p}\equiv (DH(q_{0}(-t_{0}),0).}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle \phi _{0}}$${\displaystyle \pi_{p}}$${\displaystyle \Gamma _{\gamma }.}$

が十分に小さい場合、つまりシステム(2)である場合、はになり、安定多様体と不安定多様体は互いに異なるようになります。さらに、これが十分に小さい場合、近傍では摂動を受けないベクトル場(3)の周期軌道は周期軌道として存続します。さらに、およびはそれぞれおよびに -近いです。 ${\displaystyle \epsilon \neq 0}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle \gamma _{\epsilon }(t),}$ ${\displaystyle \Gamma _{\gamma }}$${\displaystyle \Gamma _{\gamma _{\epsilon }},}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\epsilon _{0}),}$${\displaystyle \gamma (t)}$${\displaystyle \gamma _{\epsilon }(t)=\gamma (t)+{\mathcal {O}}(\epsilon ).}$${\displaystyle W_{loc}^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W_{loc}^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle W_{loc}^{s}(\gamma (t))}$${\displaystyle W_{loc}^{u}(\gamma (t))}$

位相空間の次の断面を考えると、およびは ${\displaystyle \Sigma ^{\phi _{0}}=\{(q,\phi )\in \mathbb {R} ^{2}|\phi =\phi _{0}\},}$${\displaystyle (q(t),\phi (t))}$${\displaystyle (q_{\epsilon }(t),\phi (t))}$

それぞれ摂動のないベクトル場と摂動のあるベクトル場である。これらの軌道の への射影はとで与えられる。図4を見ると、との分割は と で定義されているので、それぞれ ととして横方向に 交差する点について考える。したがって、との間の距離を で示される点で定義するのが自然であり、 と は と上にあり、 はと上にあり、 は とで書き直すことができる。 ${\displaystyle \Sigma ^{\phi _{0}}}$${\displaystyle (q(t),\phi _{0}(t))}$${\displaystyle (q_{\epsilon }(t),\phi _{0}(t)).}$${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t)),}$${\displaystyle \pi _{p}}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{s}}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{u}}$${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle p,}$${\displaystyle d(p,\epsilon )\equiv |p_{\epsilon }^{s}-p_{\epsilon }^{u}|}$${\displaystyle d(p,\epsilon )={\dfrac {(p_{\epsilon }^{s}-p_{\epsilon }^{u})\cdot (DH(q_{0}(-t_{0}),0)}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}),0)\parallel }}.}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{s}}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{u}}$${\displaystyle \pi _{p},p_{\epsilon }^{s}=(q_{\epsilon }^{s},\phi _{0})}$${\displaystyle p_{\epsilon }^{u}=(q_{\epsilon }^{u},\phi _{0}),}$${\displaystyle d(p,\epsilon )}$

${\textstyle {d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )={\dfrac {DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot (q_{\epsilon }^{u}-q_{\epsilon }^{s})}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}))\parallel }}.~\ ~\ {(5)}}}$

図 5 に示すように、多様体と は複数の点で交差する場合があります。これが可能になるためには、が十分に小さい場合、交差するたびに、軌道が再度通過する必要があります。 ${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle \pi _{p}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle {\mathcal {N}}(\epsilon _{0})}$

式(5)をテイラー級数展開すると、次の式が得られる。${\displaystyle \epsilon =0,}$${\displaystyle d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )=d(t_{0},\phi _{0},0)+\epsilon {\frac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0},0)+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2}),}$${\displaystyle d(t_{0},\phi _{0},0)=0}$${\displaystyle {\frac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0},0)={\dfrac {DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)}{\parallel (DH(q_{0}(-t_{0}))\parallel }}.}$

するとメルニコフ関数は次のように定義される。 ${\displaystyle d(t_{0},\phi _{0},\epsilon )=0,}$

${\displaystyle {M(t_{0},\phi _{0})\equiv DH(q_{0}(-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right),~\ ~\ {(6)}}}$

は 上でゼロではないので、有限かつ${\displaystyle DH(q_{0}(-t_{0}))=\left({\dfrac {\partial H}{\partial x}}(q_{0}(-t_{0})),{\dfrac {\partial H}{\partial y}}(q_{0}(-t_{0}))\right)}$${\displaystyle q_{0}(-t_{0})}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle M(t_{0},\phi _{0})=0\Rightarrow {\dfrac {\partial d}{\partial \epsilon }}(t_{0},\phi _{0})=0.}$

式(6)を用いると、摂動問題の解を知る必要がある。これを避けるために、メルニコフは時間依存メルニコフ関数を定義した。

${\displaystyle {M(t;t_{0},\phi _{0})\equiv DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot \left({\frac {\partial q_{\epsilon }^{u}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}-{\frac {\partial q_{\epsilon }^{s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)~\ ~\ {(7)}}}$

ここで、 および はそれぞれ、およびから始まる軌道です。この関数の時間微分を取ると、いくつかの簡略化が可能になります。式 (7) の項の 1 つの時間微分は 、運動方程式から、次の式が得られます。式 (2) および (9) を (8) に代入すると、次の式が得られます。右側の最初の 2 つの項は、行列の乗算 と ドット 積を明示的に評価することでキャンセルされることを確認できます。はに再パラメータ化されています。 ${\displaystyle q_{\epsilon }^{u}(t)}$${\displaystyle q_{\epsilon }^{s}(t)}$${\displaystyle q_{\epsilon }^{u}}$${\displaystyle q_{\epsilon }^{s}}$$${\displaystyle {{\dfrac {d}{dt}}\left(DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)=\left(D^{2}H(q_{0}(t-t_{0}){\dot {q_{0}}}(t-t_{0}))\right)\cdot {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}+DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\dfrac {d}{dt}}{\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}.~\ ~\ {(8)}}}$$${\displaystyle {\dot {q}}_{\epsilon }^{u,s}(t)=JDH(q_{\epsilon }^{u,s}(t))+\epsilon g(q_{\epsilon }^{u,s}(t),t,\epsilon ),}$$${\displaystyle {{\dfrac {d}{dt}}{\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}=JD^{2}H(q_{0}(t-t_{0})){\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}+g(q_{0}(t-t_{0}),t,0)~\ ~\ {(9)}}}$$$${\displaystyle {{\begin{aligned}{ll}{\dfrac {d}{dt}}\left(DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\right)=&D^{2}H(q_{0}(t-t_{0}))JDH(q_{0}(t-t_{0})\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\\&+\ DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot JD^{2}H(q_{0}(t-t_{0})){\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}\\&+\ DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\phi (t),0)\end{aligned}}~\ ~\ {(10)}}}$$${\displaystyle g(q,t,\epsilon )}$${\displaystyle g(q,\phi ,\epsilon )}$

残りの項を積分すると、元の項の表現は、摂動を受けた問題の解に依存しなくなります。

${\displaystyle {{\begin{array}{lcl}DH(q_{0}(\tau -t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{u}(\tau )}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}&=\displaystyle \int _{-\infty }^{\tau }DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\omega t+\phi _{0},0)dt\\DH(q_{0}(\tau -t_{0}))\cdot {\dfrac {\partial q_{\epsilon }^{s}(\tau )}{\partial \epsilon }}{\Big |}_{\epsilon =0}&=\displaystyle \int _{\infty }^{\tau }DH(q_{0}(t-t_{0}))\cdot g(q_{0}(t-t_{0}),\omega t+\phi _{0},0)dt\end{array}}~\ ~\ {(11)}}}$

積分の下限は、となる時間として選択されており、したがって境界項はゼロになります。 ${\displaystyle q_{\epsilon }^{u,s}(t)=\gamma (t)}$${\displaystyle {\frac {\partial q_{\epsilon }^{u,s}(t)}{\partial \epsilon }}=0}$

これらの項を組み合わせてメルニコフ距離の最終的な形を設定すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle \tau =0,}$

${\displaystyle {M(t_{0},\phi _{0})=\int _{-\infty }^{+\infty }DH(q_{0}(t))\cdot g(q_{0}(t),\omega t+\omega t_{0}+\phi _{0},0)dt.~\ ~\ {(12)}}}$

そして、この式を用いて次の定理が成り立つ。

定理1 :次のような 点があるとする${\displaystyle (t_{0},\phi _{0})=({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})}$

• i)および${\displaystyle M({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})=0}$
• ii) .${\displaystyle \left.{\frac {\partial M}{\partial t_{0}}}\right|_{({\bar {t_{0}}},{\bar {\phi _{0}}})}\neq 0}$

すると、十分に小さい に対して、はで横切る。さらに、すべての に対して、 であれば、${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle (q_{0}(-t_{0})+{\mathcal {O}}(\epsilon ),\phi _{0}).}$${\displaystyle M(t_{0},\phi _{0})\neq 0}$${\displaystyle (t_{0},\phi _{0})\in \mathbb {R} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}$${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))\cap W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))=\emptyset .}$

定理 1から、メルニコフ関数に単純な零点がある場合、安定多様体と多様体の横断交差でホモクリニック タングルが生じることが示唆されます。このようなタングルは、安定多様体と不安定多様体が無限回交差する非常に複雑な構造です。 ${\displaystyle W^{s}(\gamma _{\epsilon }(t))}$${\displaystyle W^{u}(\gamma _{\epsilon }(t))}$

固定点の不安定多様体に沿って、横断交差近くの点の近傍から離れた位相体積の小さな要素を考えてみましょう。明らかに、この体積要素が双曲固定点に近づくと、関連する不変集合に関連する反復的な無限交差と伸張（および折り畳み）により、かなり歪んでしまいます。したがって、馬蹄形マップのように、体積要素が無限の伸張と折り畳みの変換を受けることは当然予想されます。次に、この直感的な予想は、次のように述べられる定理によって厳密に確認されます。

定理 2 : 微分同相写像（ここで、は n 次元多様体）が、ある点（ここで ）で横方向に交差する安定多様体と 不安定多様体を持つ双曲的不動点を持つとします。すると、には（ ）に対して不変な双曲的集合 （ ）が含まれ、その上で は有限個の記号上の シフトと位相的に共役です。${\displaystyle P:M\rightarrow M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\bar {x}}}$${\displaystyle W^{s}({\bar {x}})}$${\displaystyle W^{u}({\bar {x}})}$${\displaystyle x_{0}\neq {\bar {x}}}$${\displaystyle W^{s}({\bar {x}})\perp W^{u}({\bar {x}}),}$${\displaystyle dimW^{s}+dimW^{u}=n.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$

したがって、定理2によれば、横方向ホモクリニック点を持つダイナミクスは馬蹄形写像と位相的に類似しており、初期条件に対する敏感な性質を持っていることを意味し、したがってメルニコフ距離(10)が単純にゼロになるとき、システムはカオス的であることを意味する。