蛇行（数学）

数学において、蛇行または閉蛇行は、特定の直線を複数回横切る自己回避閉曲線であり、一方から他方へ通過するときに直線と交差することを意味します。直感的には、蛇行は、いくつかの橋を渡って川を横切る直線道路がある蛇行した川と見ることができます。したがって、直線と曲線が交差するポイントは「橋」と呼ばれます。

ユークリッド平面上の固定線L を考えると、次数nの蛇行は、平面上で線と 2 n点で交差する自己回避閉曲線です。2 つの蛇行が同等であるとは、一方の蛇行が、蛇行であるという特性を維持しながら、他方の蛇行に連続的に変形でき、道路上の橋の順序、つまり橋が渡される順序が不変である場合を指します。

1 次単蛇行は直線と 2 回交差します。

この蛇行は直線と 4 回交差するため、次数は 2 になります。

2 次蛇行が 2 つあります。画像を垂直に反転すると、もう 1 つが生成されます。

ここに、それぞれ直線と 6 回交差する、次数 3 の同等でない 2 つの蛇行線があります。

n次数の異なる蛇行の数は、蛇行数 M _nです。最初の 15 個の蛇行数は以下で示されています ( OEISのシーケンスA005315 )。

₁ = 1です

Ｍ2＝_２

₃ = 8です

₄ = 42メートル

₅ = 262メートル

男₆＝1828

M7 = ₁₃₈₂₀

₈ = 110954メートル

M9 = ₉₃₃₄₅₈

₁₀ = 8152860メートル

₁₁ = 73424650メートル

₁₂ = 678390116メートル

13 = _6405031050

₁₄ = 61606881612メートル

₁₅ = 602188541928メートル

n次のメアンドリック順列は集合{1, 2, ..., 2 n }上で定義され、次のように決定されます。

• 線は左から右に向いており、蛇行の各交差点には 1 から始まる整数が連続してラベル付けされています。
• 曲線は、1 とラベル付けされた交差点で上向きになります。
• 固定点のない巡回順列は、ラベルの付いた交差点を通る有向曲線をたどることで得られます。

右の図では、4次のメアンドリック順列は (1 8 5 4 3 6 7 2) で表されます。これは巡回表記法で書かれた順列であり、 1行表記法と混同しないでください。

π がメアンドリック順列である場合、π ^{2 は2 つの}サイクルで構成され、1 つはすべての偶数記号を含み、もう 1 つはすべての奇数記号を含みます。この特性を持つ順列は、元の順列の記号が奇数と偶数の間で交互になっているため、交互順列と呼ばれます。ただし、曲線に自己交差を導入せずに交互順列を描くことができない場合があるため、すべての交互順列がメアンドリックであるとは限りません。たとえば、次数 3 の交互順列 (1 4 3 6 5 2) はメアンドリックではありません。

ユークリッド平面上の固定線Lが与えられた場合、 n次オープン蛇行は、平面上でn点で直線と交差する非自己交差曲線です。2 つのオープン蛇行は、一方がオープン蛇行であるという特性を維持し、道路上の橋の順序 (渡る順序) が不変のまま、他方に連続的に変形できる場合、同等です。

1 次オープン蛇行は直線と 1 回交差します。

2次の開いた蛇行は直線と2回交差します。

n次数の異なる開蛇行線の数は、開蛇行線数 m _nです。最初の 15 個の開蛇行線番号を以下に示します ( OEISのシーケンスA005316 )。

ｍ1 = ₁

ｍ2＝_１

ｍ3＝_２

メートル₄ = 3

メートル₅ = 8

メートル₆ = 14

メートル₇ = 42

メートル₈ = 81

メートル₉ = 262

メートル₁₀ = 538

メートル₁₁ = 1828

メートル₁₂ = 3926

メートル₁₃ = 13820

メートル₁₄ = 30694

メートル₁₅ = 110954

ユークリッド平面上の固定された方向の光線 R (閉じた半直線) を考えると、次数nの半蛇行は、平面上でn点で光線と交差する、自己交差しない閉曲線です。2 つの半蛇行は、半蛇行の特性を維持しながら、光線上の橋の順序 (交差する順序) を不変のままにして、一方を他方に連続的に変形できる場合、同等です。

次数 1 の半蛇行は光線と 1 回交差します。

次数 2 の半蛇行は光線と 2 回交差します。

n次の異なる半蛇行の数は半蛇行数 M _nです(通常は下線ではなく上線で示されます)。最初の 15 個の半蛇行数は以下で示されています ( OEISのシーケンスA000682 )。

₁ = 1です

Ｍ2＝_１

Ｍ3_＝２

Ｍ４＝_４

₅ = 10です

₆ = 24男性

男性₇ = 66

男性₈ = 174

₉ = 504メートル

₁₀ = 1406メートル

₁₁ = 4210メートル

₁₂ = 12198メートル

男₁₃ = 37378

男₁₄ = 111278

₁₅ = 346846メートル

メアンドリック数からオープンメアンドリック数への 単射関数があります。

Ｍn = ｍ2ｎ_−１​​

各メアンドリック数はセミメアンドリック数によって 制限されます。

Mn ≤ Mn ≤ _M2nである_。​

n > 1の場合、メアンドリック数は偶数です。

M _n ≡ 0 (mod 2)

• マイケル・ラ・クロワ著「蛇行の列挙理論へのアプローチ」
• P. Di Francesco 、O. Golinelli、E. Guitter (1997 年 10 月 - 11 月)。 「蛇行、褶曲、アーチの統計」。数学およびコンピュータモデリング。26 (8 - 10): 97 - 147。arXiv : hep-th/9506030。doi : 10.1016 /S0895-7177(97)00202-1。