三相電力の数学

電気工学では、三相電力システムには、周期の3分の1だけ時間的にオフセットされた交流電圧を運ぶ少なくとも3つの導体があります。三相システムは、デルタ（∆）またはスター（Y）（一部の地域では、文字「Y」に象徴的に似ているため、ワイとも表記されます）に配置できます。ワイシステムでは、3つの相すべてから2つの異なる電圧を使用できます。たとえば、230/400 Vシステムでは、中性線（センターハブ）と任意の1つの相の間に230 Vを、任意の2つの相にわたって400 Vを提供します。デルタシステム配置では1つの電圧しか提供されませんが、3つの供給巻線の1つがオフラインでも、総容量の57.7％ではありますが、正常に動作し続けることができるため、冗長性が向上します。^[1]非線形負荷が接続されている場合、中性線の高調波電流が非常に大きくなる可能性があります。

スター（Y）接続トポロジでは、回転シーケンス L1 - L2 - L3 で、時間とともに変化する瞬間電圧は、次のように各相 A、C、B ごとに計算できます。

${\displaystyle V_{L1-N}=V_{P}\sin \left(\theta \right)\,\!}$

${\displaystyle V_{L2-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {4}{3}}\pi \right)}$

${\displaystyle V_{L3-N}=V_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)=V_{P}\sin \left(\theta +{\frac {2}{3}}\pi \right)}$

どこ：

${\displaystyle V_{P}}$ピーク電圧は

${\displaystyle \theta =2\pi ft\,\!}$位相角はラジアンで表されます

${\displaystyle t}$秒単位の時間です

${\displaystyle f}$は1秒あたりのサイクル数で表した周波数であり、

電圧 L1-N、L2-N、および L3-N はスター接続ポイントを基準とします。

以下の画像は、オルタネーターから 3 相を供給する 6 本のワイヤ システムを3 本に置き換える方法を示しています。3 相変圧器も示されています。

• 
  基本的な 6 線式 3 相交流発電機。各相で別々の伝送線ペアを使用します。
• 
  基本的な 3 線式 3 相交流発電機。各相が 3 本の伝送線のみを共有できる方法を示しています。
• 
  三相変圧器の各相には、コアを共有する独自の巻線のペアがあります。

一般的に、電力システムでは、負荷は各相間で可能な限り均等に分散されます。まずバランスの取れたシステムについて説明し、次に基本的なケースからの逸脱として不均衡なシステムの影響を説明するのが通常の方法です。

三相電力の重要な特性は、抵抗負荷に供給される瞬時電力が常に一定であることです。実際、 ${\displaystyle \scriptstyle P\,=\,VI\,=\,{\frac {V^{2}}{R}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{Li}&={\frac {V_{Li}^{2}}{R}}\\P_{TOT}&=\sum _{i}P_{Li}\end{aligned}}}$

数学を簡素化するために、中間計算のための無次元化累乗を定義する。${\displaystyle \scriptstyle p\,=\,{\frac {1}{V_{P}^{2}}}P_{TOT}R}$

${\displaystyle p=\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)+\sin ^{2}\left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)={\frac {3}{2}}}$

したがって（元に戻すと）：

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2R}}.}$

を除去したので、総電力は時間とともに変化しないことがわかります。これは、大型の発電機やモーターをスムーズに稼働させるために不可欠です。 ${\displaystyle \theta }$

また、実効二乗平均電圧を使用すると、上記の式は次のようなより典型的な形式になることにも注意してください。 ${\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle P_{TOT}}$

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{R}}}$。

負荷は、すべての相でバランスが取れているか同じである限り、一定の瞬間電力を達成するために抵抗性である必要はありません。次のように記述できます。

${\displaystyle Z=|Z|e^{j\varphi }}$

ピーク電流は

${\displaystyle I_{P}={\frac {V_{P}}{|Z|}}}$

すべての相と瞬間電流は

${\displaystyle I_{L1}=I_{P}\sin \left(\theta -\varphi \right)}$

${\displaystyle I_{L2}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\displaystyle I_{L3}=I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

さて、各位相における瞬間的な電力は

${\displaystyle P_{L1}=V_{L1}I_{L1}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta \right)\sin \left(\theta -\varphi \right)}$

${\displaystyle P_{L2}=V_{L2}I_{L2}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {2}{3}}\pi -\varphi \right)}$

${\displaystyle P_{L3}=V_{L3}I_{L3}=V_{P}I_{P}\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi \right)\sin \left(\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)}$

角度減算式の使用:

${\displaystyle P_{L1}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle P_{L2}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

${\displaystyle P_{L3}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left[\cos \left(\varphi \right)-\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]}$

これらを合計すると、瞬間的な総電力となる。

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {V_{P}I_{P}}{2}}\left\{3\cos \varphi -\left[\cos \left(2\theta -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {4}{3}}\pi -\varphi \right)+\cos \left(2\theta -{\frac {8}{3}}\pi -\varphi \right)\right]\right\}}$

角括弧で囲まれた3つの項は三相システムなので、合計するとゼロになり、総電力は次のようになります。

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}I_{P}}{2}}\cos \varphi }$

または

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V_{P}^{2}}{2|Z|}}\cos \varphi }$

上記の主張を示しています。

ここでも、二乗平均平方根電圧を使用すると、通常の形式で表すことができます。 ${\displaystyle V={\frac {V_{p}}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle P_{TOT}}$

${\displaystyle P_{TOT}={\frac {3V^{2}}{Z}}\cos \varphi }$。

3 つの相のそれぞれに等しい負荷がかかる場合、中性線には正味電流は流れません。中性線電流は、線電流の反転ベクトルの合計です。キルヒホッフの回路法則を参照してください。

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{L1}&={\frac {V_{L1-N}}{R}},\;I_{L2}={\frac {V_{L2-N}}{R}},\;I_{L3}={\frac {V_{L3-N}}{R}}\\-I_{N}&=I_{L1}+I_{L2}+I_{L3}\end{aligned}}}$

次元化されていない電流を定義する。 ${\displaystyle i={\frac {I_{N}R}{V_{P}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i&=\sin \left(\theta \right)+\sin \left(\theta -{\frac {2\pi }{3}}\right)+\sin \left(\theta +{\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)+2\sin \left(\theta \right)\cos \left({\frac {2\pi }{3}}\right)\\&=\sin \left(\theta \right)-\sin \left(\theta \right)\\&=0\end{aligned}}}$

中性電流がゼロであることが示されているため、システムがバランスしていれば、中性コアを取り外しても回路に影響がないことがわかります。このような接続は、通常、3 相の負荷が同じ機器の一部である場合にのみ使用されます (たとえば、3 相モーター)。そうでない場合、負荷の切り替えやわずかな不均衡によって大きな電圧変動が発生します。

実際には、システムの 3 つの相すべてで負荷、電流、電圧、インピーダンスが完全にバランスしていることはほとんどありません。 不平衡ケースの分析は、対称コンポーネントの手法を使用することで大幅に簡素化されます。 不平衡システムは、それぞれ正、負、またはゼロの平衡電圧シーケンスを持つ 3 つの平衡システムの重ね合わせとして分析されます。

3 相システムで配線サイズを指定する場合、必要なのは相電流と中性電流の大きさだけです。中性電流は、3 つの相電流を複素数として加算し、直交座標から極座標に変換することで決定できます。3 相の実効値 (RMS) 電流が、、およびの場合、中性 RMS 電流は次のようになります。 ${\displaystyle I_{L1}}$${\displaystyle I_{L2}}$${\displaystyle I_{L3}}$

${\displaystyle I_{L1}+I_{L2}\cos \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+jI_{L2}\sin \left({\frac {2}{3}}\pi \right)+I_{L3}\cos \left({\frac {4}{3}}\pi \right)+jI_{L3}\sin \left({\frac {4}{3}}\pi \right)}$

これは次のように解決される

${\displaystyle I_{L1}-I_{L2}{\frac {1}{2}}-I_{L3}{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left(I_{L2}-I_{L3}\right)}$

この極座標は実数部と虚数部の平方和の平方根であり、^{[2]に簡約される。}

${\displaystyle {\sqrt {I_{L1}^{2}+I_{L2}^{2}+I_{L3}^{2}-I_{L1}I_{L2}-I_{L1}I_{L3}-I_{L2}I_{L3}}}}$

線形負荷の場合、相間の不均衡により、中性線のみが電流を流します。整流器コンデンサフロントエンドを使用するデバイス（コンピュータ、オフィス機器などのスイッチング電源など）は、3次高調波を導入します。3次高調波電流は各電源相で同相であるため、中性線で加算され、Y字型システムの中性電流が相電流を超える可能性があります。^{[3] [4]}

多相システムでは、相電流の時間的変位により、ライン周波数で回転する磁場を簡単に生成できます。このような回転磁場により、多相誘導モーターが可能になります。実際、誘導モーターを単相電力 (家庭で通常供給されるものなど) で動作させる必要がある場合、モーターには回転磁場を生成する何らかのメカニズムが含まれている必要があります。そうしないと、モーターは静止トルクを生成できず、始動しません。単相巻線によって生成される磁場は、すでに回転しているモーターにエネルギーを供給できますが、補助メカニズムがなければ、モーターは停止状態から加速しません。

安定した振幅の回転磁界では、3 つの相電流すべてが大きさが等しく、位相が 1 サイクルの 3 分の 1 だけ正確にずれている必要があります。不均衡な動作は、モーターや発電機に望ましくない影響を及ぼします。

2 つの電圧波形が、半サイクルの倍数以外の時間軸上で少なくともいくらかの相対的な変位を持っている場合、受動変圧器のアレイによって他の任意の多相電圧セットを得ることができます。このようなアレイは、ソースシステムの位相間で多相負荷を均等にバランスさせます。たとえば、バランスの取れた 2 相電力は、一次電圧の 50% と 86.6% のタップを持つ 2 つの特別に構築された変圧器を使用して、3 相ネットワークから取得できます。このスコット T接続により、位相間に 90° の時間差がある真の 2 相システムが生成されます。もう 1 つの例は、より滑らかなDC出力を生成し、電源内の 高調波電流を削減するために、大規模な整流器システム用の高相システムを生成することです。

三相電力が必要なのに、電力供給業者から単相電力しか入手できない場合は、位相変換器を使用して単相電源から三相電力を生成することができます。モーター発電機は、工場の産業用途でよく使用されます。

三相システムでは、中性線がない場合には少なくとも2つのトランスデューサーが必要であり、中性線がある場合は3つのトランスデューサーが必要である。^[5] ブロンデルの定理によれば、必要な測定要素の数は電流を流す導体の数より1つ少ない。^[6]

• スティーブンソン、ウィリアム D. ジュニア (1975)。電力システム解析の要素。マグロウヒル電気電子工学シリーズ (第 3 版)。ニューヨーク: マグロウヒル。ISBN 0-07-061285-4。