ルシンの定理

数学解析学の分野において、ルジンの定理（ニコライ・ルジンにちなんでルジンの定理とも呼ばれる）あるいはルジンの基準は、ほぼどこでも有限な関数が測定可能であるのは、その関数がその定義域のほぼすべてで連続関数である場合に限ると述べている。JEリトルウッドの非公式な定式化では、「測定可能な関数はすべてほぼ連続である」とされている。

区間[ a ,  b ]について、

${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {C} }$

は測定可能な関数である。すると、任意のε > 0 に対して、コンパクトなE  ⊆ [ a ,  b ] が存在し、 f はEに制限されて連続であり、

${\displaystyle \mu (E)>ba-\varepsilon .}$

E は[ a ,  b ]から部分空間トポロジーを継承することに注意してください。Eに制限されたfの連続性は、このトポロジーを使用して定義されます。

また、区間 [ a, b ] 上で定義され、ほぼどこでも有限である任意の関数fに対して、任意のε > 0に対して[ a, b ] 上で連続な関数ϕが存在し、その集合の測度が

${\displaystyle \{x\in [a,b]:f(x)\neq \phi (x)\}}$

εより小さい場合、f は測定可能である。^[1]

をラドン測度空間、Y をボレル代数を備えた第2可算位相空間とし、を測度可能な関数とする。 が与えられたとき、任意の有限測度に対して、に制限されて連続となる閉集合が存在する。 が局所コンパクトでである場合、がコンパクトになるように選択することができ、上でと一致し、となる コンパクトな台を持つ連続関数を見つけることもできる。${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle A\in \Sigma }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mu (A\setminus E)<\varepsilon }$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle f_{\varepsilon}:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle \\sup_{x\inX}|f_{\varepsilon}(x)|\leq\sup_{x\inX}|f(x)|}$。

非公式には、可算基数を持つ空間への測定可能な関数は、その定義域の任意の大きな部分上の連続関数によって近似できます。

ルシンの定理の証明は、多くの古典的な書籍で見つけることができます。直感的には、エゴロフの定理と滑らかな関数の密度の結果として期待されます。エゴロフの定理は、点ごとの収束はほぼ一様であり、一様収束は連続性を維持すると述べています。

ルシンの定理の強さは、例で示すように、すぐには明らかではないかもしれません。ディリクレ関数を考えてみましょう。これは、単位区間上の指示関数 で、有理数では 1 を、それ以外では 0 をとります。明らかに、この関数の測度は 0 になるはずですが、有理数が実数で密である場合、連続する領域をどのように見つけることができるでしょうか。ルシンの定理の要件は、次の集合の構築によって満たすことができます。${\displaystyle 1_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \{0,1\}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle E.}$

を の任意の列挙体とする。 ${\displaystyle \{x_{n};n=1,2,\dots \}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle G_{n}=(x_{n}-\varepsilon /2^{n},x_{n}+\varepsilon /2^{n})}$

そして

${\displaystyle E:=[0,1]\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }G_{n}}$。

すると、開集合の列はすべての有理数を「ノックアウト」し、有理数を含まず、 を超える測度を持つコンパクトな閉集合が残ります。 ${\displaystyle G_{n}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 1-2\varepsilon }$

出典

• N.ルーシン。 Sur les propriétés des fonctions mesurables、Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 154 (1912)、1688–1690。
• G. フォーランド著『実分析：現代の技術とその応用』第 2 版、第 7 章
• W. ジグムント。スコルツァ・ドラゴニの物件（ポーランド語）、UMCS、ルブリン、1990
• MB フェルドマン、「ルシンの定理の証明」、アメリカ数学月刊誌、88 (1981)、191-2
• Lawrence C. Evans、Ronald F. Gariepy、「測度論と関数の微細な性質」、CRC Press Taylor & Francis Group、数学教科書、定理 1.14

引用