正準特異点

数学において、正準特異点は射影多様体の正準モデルの特異点として現れ、終端特異点は極小モデルの特異点として現れる特殊なケースである。これらはReid (1980)によって導入された。終端特異点は極小モデルプログラムにおいて重要である。なぜなら、滑らかな極小モデルが常に存在するとは限らず、そのため、特定の特異点、すなわち終端特異点を許容する必要があるからである。

Yが正規多様体でその標準類K _YがQ-カルティエであるとし、f​​ : X → Y をYの特異点の解決とします。すると

${\displaystyle \displaystyle K_{X}=f^{*}(K_{Y})+\sum _{i}a_{i}E_{i}}$

ここで、和は既約な例外約数であり、a _{i は}有理数であり、不一致と呼ばれます。

Yの特異点は次のように呼ばれます。

すべてのiに対してa _i > 0であれば 終了

すべてのiに対してa _i ≥ 0であれば 標準的

全てのiに対してa _i > −1の場合、 対数終端

すべてのiに対してa _i ≥ −1であれば 対数正規形となる。

射影多様体Vの特異点は、多様体が正規であり、Vの非特異部分の標準直線束の何らかの冪がV上の直線束に延長され、V がその特異点の任意の分解と同じ多種族を持つとき、標準的である。 V が相対標準モデルであるとき、かつそのときに限り、標準特異点を持つ。

射影多様体Vの特異点は、多様体が正規多様体であり、Vの非特異部分の標準直線束の何らかの冪がV上の直線束に延長され、V ^m の任意の切断の引き戻しが、その特異点の解決の例外的な軌跡の任意の余次元 1 成分に沿って消えるとき、終端多様体である。

2 次元の終端特異点は滑らかです。多様体に終端特異点がある場合、その特異点は少なくとも 3 つの余次元を持ち、特に次元 1 と 2 ではすべての終端特異点は滑らかです。3 次元では、それらは孤立しており、Mori (1985) によって分類されました。

2次元の正準特異点はデュバル特異点と同じであり、 SL ₂ ( C )の有限部分群によるC ²の商に解析的に同型です。

2次元対数終端特異点は、 C ²のGL ₂ ( C ) の有限部分群による商に解析的に同型です。

2次元対数正準特異点はKawamata (1988) によって分類されています。

より一般的には、これらの概念を、 -カルティエとなるような有理係数を持つ素因数の形式的な線形結合のペアに対して定義することができる。このペアは ${\displaystyle (X,\Delta )}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle K_{X}+\Delta }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• 端末の場合 Discrep${\displaystyle (X,\Delta )>0}$
• 正規のif Discrep${\displaystyle (X,\Delta )\geq 0}$
• klt（川俣ログターミナル）Discrepと${\displaystyle (X,\Delta )>-1}$${\displaystyle \lfloor \Delta \rfloor \leq 0}$
• plt (純粋なログ端末) if Discrep${\displaystyle (X,\Delta )>-1}$
• Discrep の場合はlc (対数正規形) 。${\displaystyle (X,\Delta )\geq -1}$

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• 森 重文(1985)、「3次元終端特異点について」、 名古屋数学ジャーナル、98 :43–66、doi : 10.1017/s0027763000021358、ISSN0027-7630  、MR0792770
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