リッドストーンシリーズ

数学において、リドストン級数は、ジョージ・ジェームズ・リドストンにちなんで名付けられた、ある種の完全関数を表現できる一種の多項式展開です。

ƒ ( z ) を、以下に定義されるように、 ( N  + 1) π未満の指数型の整関数とします。すると、ƒ ( z ) は、次のように多項式A _nで展開できます。

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}(1-z)f^{(2n)}(0)+A_{n}(z )f^{(2n)}(1)\right]+\sum _{k=1}^{N}C_{k}\sin(k\pi z).}$

ここで、A _n ( z ) はzのn次多項式、C _{k は}定数、ƒ ^{( n )} ( a ) はaにおけるƒのn次導関数です。

関数がt未満の指数型であるとは、関数 が

${\displaystyle h(\theta ;f)={\underset {r\to \infty }{\limsup }}\,{\frac {1}{r}}\log |f(re^{i\theta })|}$

はtによって上限が定められている。したがって、上記の合計で使用される 定数Nは次のように与えられる。

${\displaystyle t=\sup _{\theta \in [0,2\pi )}h(\theta ;f)}$

と

${\displaystyle N\pi \leq t<(N+1)\pi .}$

• Ralph P. Boas, Jr. および C. Creighton Buck、「Polynomial Expansions of Analytic Functions」、(1964) Academic Press、ニューヨーク。米国議会図書館カタログ 63-23263。Moderne Funktionentheorie編の第 19 巻として発行。 LV Ahlfors、シリーズErgebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、Springer-Verlag ISBN  3-540-03123-5