李山蘭のアイデンティティ

数学のうち組合せ論において、李山蘭の恒等式（りざんらんのたしなみきょう、りざんらんのたしなみきょう）は、19世紀中国の数学者李山蘭に帰せられる組合せ論的恒等 式である。^[1]李山蘭は李人書（彼の愛称）としても知られているため、この恒等式は李人書の恒等式とも呼ばれる。^{[2]この恒等式は、李山蘭が著し、1867年に全集の一部として出版された数学書『}垛积比類/ 垛積比類』（有限級数の和を意味する）の第3章に登場する。 1964年、チェコの数学者ヨゼフ・カウツキーが恒等式の初等的証明を恒等式の歴史とともに出版した。^[3]カウツキーは、この恒等式を李人書という人物に帰した。この人物の経歴から、李人書は実は李善蘭であることが判明した。^[1]西洋の学者たちは中国の数学を歴史的価値から研究してきたが、この人物が19世紀の中国の数学者に帰属していることから、中国の数学者の著作の数学的価値について再考するきっかけとなった。^[2]

李山蘭のアイデンティティは、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}={{n+p} \choose p}^{2}}$。

李山蘭は、アイデンティティをこのようには提示しませんでした。彼は、伝統的な中国のアルゴリズムと修辞的な方法でそれを提示しました。^[4]

李山蘭は『多機毓聲』の中では恒等式の証明を与えていなかった。李にとって馴染みのない概念である微分方程式とルジャンドル多項式を用いた最初の証明は、 1936年にパル・トゥランによって発表され、中国語での証明は1939年に出版されたヨン・チャンの論文に掲載された。 ^[2]それ以来、少なくとも15種類の異なる証明が見つかっている。^[2]以下は最も簡単な証明の1つである。^[5]

証明は、ヴァンデルモンドの畳み込みとして表現することから始まります。 ${\displaystyle n \choose q}$

${\displaystyle {n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{{np} \choose k}{p \choose {qk}}}$

両辺に を掛けると、 ${\displaystyle n \choose p}$

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{n \choose p}{{np} \choose k}{p \choose {qk}}}$。

次の関係を用いる

${\displaystyle {n \choose p}{{np} \choose k}={{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}}$

上記の関係は次のように変形できる。

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{p \choose {qk}}{{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}}$。

次に関係

${\displaystyle {p \choose {qk}}{{p+k} \choose {k}}={q \choose k}{{p+k} \choose {q}}}$

取得するために使用される

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{{p+k} \choose q}}$。

ヴァンデルモンド畳み込みの別の応用は、

${\displaystyle {{p+k} \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {qj}}}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {qj}}}$

はkに依存しないので、これは次の形で表される。 ${\displaystyle p \choose j}$

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{k \choose {qj}}}$

次に結果

${\displaystyle {q \choose k}{k \choose {qj}}={q \choose j}{j \choose {qk}}}$

与える

${\displaystyle {n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose j}{j \choose {qk}}{n \choose {p+k}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}\sum _{k=0}^{q}{j \choose {qk}}{n \choose {p+k}}}$

${\displaystyle =\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}{{n+j} \choose {p+q}}}$

p = qとし、 j をkに置き換えると、

${\displaystyle {n \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+k} \choose {2p}}}$

Li の恒等式は、 nをn + pに置き換え、結果の式の項を並べ替えること で得られます。

${\displaystyle {{n+p} \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}}$

多極とは、杭の和を計算する中国の伝統的な方法を指す。16世紀以降中国で開発された数学のほとんどは、多極法に関連している。李善蘭はこの方法の最大の提唱者の一人であり、多極牌は、この方法に関連する彼の研究の解説である。多極牌は4つの章から成り、第1章は三角杭、第2章は有限冪級数、第3章は三角自己増殖杭、第4章は修正三角杭を扱っている。^[6]