レーマー行列

数学、特に行列理論において、n×n レーマー行列（デリック・ヘンリー・レーマーにちなんで名付けられた）は、次のように定義される 定数対称行列である。

${\displaystyle A_{ij}={\begin{cases}i/j,&j\geq i\\j/i,&j<i.\end{cases}}}$

あるいは、次のように書くこともできる。

${\displaystyle A_{ij}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)}}.}$

例のセクションでわかるように、Aがn×n のLehmer 行列で、 B がm×m のLehmer 行列である場合、 m > nのときは常にAはBの部分行列になります。要素の値は対角線から離れるにつれて 0 に近づき、すべての要素の値は 1 になります。

Lehmer 行列の逆行列は三重対角行列で、上対角要素と下対角要素は厳密に負の要素を持ちます。もう一度、n×n A行列とm×m B Lehmer 行列 ( m > n )を考えてみましょう。これらの逆行列のかなり特異な特性は、 A ⁻¹はB ⁻¹のほぼ部分行列であることです。ただし、A ⁻¹ _n,n要素はB ⁻¹ _n,nと等しくありません。

n次 Lehmer 行列にはトレース nがあります。

2×2、3×3、4×4 の Lehmer 行列とその逆行列を以下に示します。

${\displaystyle {\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}};&A_{2}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {Brown}{\mathbf {4/3} }}\end{pmatrix}};\\\\A_{3}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}};&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\\-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {Brown}{\mathbf {9/5} }}\end{pmatrix}};\\\\A_{4}={\begin{pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}};&A_{4}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\color {Brown}{\mathbf {16/7} }}\end{pmatrix}}.\\\end{array}}}$

• デリック・ヘンリー・レーマー
• ヒルベルト行列