ルジャンドルの関係

数学において、ルジャンドルの関係は、完全楕円積分間の関係、または楕円関数の周期と準周期間の関係の2 つの形式のいずれかで表現できます。周期と準周期は完全楕円積分で表現できるため、2 つの形式は同等です。この関係は、 AM ルジャンドル (1811、1825、p. 61) によって (完全楕円積分について) 導入されました。

ルジャンドルの関係式は、完全楕円積分を用いて次のように表される。

${\displaystyle K'E+KE'-KK'={\frac {\pi }{2}}}$

ここで、KとK ′はk ² + k ′ ² = 1を満たす値に対する第1種の完全楕円積分であり、EとE ′は第2種の完全楕円積分である。

この形式のルジャンドルの関係は、完全楕円積分（微分方程式の解として考えた場合）のロンスキアンが定数であるという事実を表現します。

楕円関数を用いて表現されたルジャンドルの関係は

${\displaystyle \omega _{2}\eta _{1}-\omega _{1}\eta _{2}=2\pi i\,}$

ここで、ω ₁とω _{2 は}ワイエルシュトラスの楕円関数の周期であり、η ₁とη _{2 は}ワイエルシュトラスのゼータ関数の擬周期である。著者によっては、これらを 2 倍の異なる方法で正規化する人もいます。その場合、ルジャンドルの関係式の右辺はπ iまたは π i / 2 になります。この関係式は、ワイエルシュトラスのゼータ関数を基本領域の境界で積分し、コーシーの留数定理を 適用することで証明できます。

レムニスカティックアークサインと補レムニスカティックアークサインは次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (r)=\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,K{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} ^{*}(r)=\int _{0}^{r}{\frac {1+\rho ^{2}}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\,\mathrm {d} \rho ={\sqrt {2}}\,E{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-{\sqrt {2}}\,E{\bigl [}\arccos(r);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr ]}}$

そして、これらの導関数は有効です:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} (r)={\frac {1}{\sqrt {1-r^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}\operatorname {arcsl} ^{*}(r)={\frac {1+r^{2}}{\sqrt {1-r^{4}}}}={\biggl (}{\frac {1+r^{2}}{1-r^{2}}}{\biggr )}^{1/2}}$

ルジャンドル恒等式のレムニスカティックケースは次のように示されます。

反微分としてレムニスカティック弧関数を使用する次の式が与えられます。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-{\frac {1-x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\operatorname {arcsl} (x)=\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y}$

x に関して元の不定積分を構築すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (x){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(x)-\operatorname {arcsl} (x){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}{\biggl [}\operatorname {artanh} (y^{2})-\operatorname {artanh} {\bigl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\bigr )}{\biggr ]}\mathrm {d} y}$

その数式に値を入力すると、次の結果が生成されます。 ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle \operatorname {arcsl} (1){\bigl [}\operatorname {arcsl} ^{*}(1)-\operatorname {arcsl} (1){\bigr ]}=\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2\,y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y={\frac {\pi }{4}}}$

関数 K、F、E の同一性により、この結果から次の式を直接導き出すことができます。

${\displaystyle K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl [}2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}={\frac {\pi }{2}}}$

先ほど実行した導出によれば、上記の結果は有効であり、要約すると次のようになります。

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

次に、モジュラー一般の場合を証明します。この目的のために、完全な楕円積分の導関数を導出します。次に、ルジャンドルの恒等バランスの導出を決定します。

第一種 楕円積分の微分の証明:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x-\int _{0}^{1}{\frac {\varepsilon (1-2x^{2}+\varepsilon ^{2}x^{4})}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})^{3}}}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}E(\varepsilon )-{\frac {1}{\varepsilon }}K(\varepsilon )-\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\varepsilon x{\sqrt {1-x^{2}}}}{(1-\varepsilon ^{2}){\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}}}\mathrm {d} x={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}}$

第二種楕円積分の微分の証明:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {-\varepsilon x^{2}}{\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =-\int _{0}^{1}{\frac {1}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})(1-\varepsilon ^{2}x^{2})}}}}\mathrm {d} x+\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-\varepsilon ^{2}x^{2}}}{\varepsilon {\sqrt {(1-x^{2})}}}}\mathrm {d} x=-{\frac {1}{\varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )-E(\varepsilon ){\bigr ]}}$

ピタゴラスの反モジュールの場合、連鎖律によれば、この関係は有効です。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}\varepsilon ^{2}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\varepsilon }{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl [}K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

円関数の導関数は、いわゆる恒等関数と円関数の逆数の負の積であるためです。ルジャンドルの関係式には、常に 2 つの完全な楕円積分の積が含まれます。ルジャンドルの恒等式の等式スケールから関数側を導出するには、次のように 積の規則が適用されます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+\varepsilon ^{2}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}-E(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {1}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}{\bigl [}E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-(1-2\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}}$

これら 3 つの方程式のうち、上の 2 つの方程式を加算し、下の方程式を減算すると、次の結果が得られます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}{\bigl [}K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}){\bigr ]}=0}$

ε に関しては、バランスは常にゼロの値を示します。

以前に決定された結果は、次のように モジュールに適用されます。${\displaystyle \varepsilon =1/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 2E{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}-K{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

最後の 2 つの式を組み合わせると、次の結果が得られます。

${\displaystyle K(\varepsilon )E({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})+E(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})-K(\varepsilon )K({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}})={\frac {\pi }{2}}}$

連続関数の導関数が常にゼロの値を取る場合、その関数は定数関数です。つまり、この関数は各横軸値 ε に対して同じ関数値になり、関連する関数グラフは水平の直線になります。

• デュレン、ピーター (1991)、「楕円積分のルジャンドル関係」、ユーイング、ジョン H.、ゲーリング、FW (編)、ポール ハルモス。数学 50 周年記念、ニューヨーク: シュプリンガー出版社、pp. 305-315、doi :10.1007/978-1-4612-0967-6_32、ISBN 0-387-97509-8、MR  1113282
• カラツバ, EA; ヴオリネン, M. (2001)、「超幾何関数とルジャンドルの関係の一般化について」、J. Math. Anal. Appl.、260 (2): 623–640、MR  1845572
• ルジャンドル、AM (1811)、Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transantantes et sur les quadratures、vol.私、パリ
• ルジャンドル、AM (1825)、Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes、vol.私、パリ