切り捨て可能な素数

数論では、左切り捨て可能な素数とは、与えられた基数において0が含まれず、先頭の (「左」の) 桁を順に削除すると、結果として得られる数がすべて素数となる素数のことです。たとえば、9137 は、9137、137、37、7 がすべて素数であるためです。10進表現が想定されることが多く、この記事では常に 10 進表現が使用されます。

右切り捨て可能な素数とは、最後の（「右」の）桁を連続して削除しても素数のままである素数のことです。7393 は右切り捨て可能な素数の例です。7393、739、73、7 はすべて素数です。

左と右を切り捨て可能な素数とは、先頭 (「左」) の桁と最後 (「右」) の桁を同時に連続して削除して 1 桁または 2 桁の素数になった場合でも素数のままである素数です。1825711 は、左と右を切り捨て可能な素数の例です。1825711、82571、257、5 はすべて素数です。

10 進数では、左切り捨て可能な素数が正確に 4260 個、右切り捨て可能な素数が 83 個、左と右を切り捨て可能な素数が 920,720,315 個あります。

レスリー・E・カードという著者は、Journal of Recreational Mathematics（1968年に創刊）の初期の巻で、右切り捨て素数に近いトピックを検討し、必ずしも素数ではない最初の数の右側に数字を順番に追加していくことで得られる数列を、スノーボール素数と呼んでいました。

このトピックに関する議論は、少なくとも1969年11月号の『Mathematics Magazine』にまで遡り、そこでは2人の共著者（Murray BergとJohn E. Walstrom）によって 切り捨て可能な素数が素数素数と呼ばれていました。

左切り捨て可能な素数は 4260 個あります。

2、3、5、7、13、17、23、37、43、47、53、67、73、83、97、113、137、167、173、197、223、283、313、317、337、 347、353、 367、373、383、397、443、467、523、547、613、617、643、647、653、673、683、743、773、797、823、853、883、937、947、 953、967、 983、997、...（OEISの配列A024785）

最大のものは24桁の357686312646216567629137です。

右切り捨て可能な素数は 83 個あります。完全なリストは次のとおりです。

2、3、5、7、23、29、31、37、53、59、71、73、79、233、239、293、311、313、317、373、379、593、599、719、733、 739、 797、2333、2339、2393、2399、2939、3119、3137、3733、3739、3793、3797、5939、7193、7331、7333、7393、23333、23339、 23399、23993、 29399、31193、31379、37337、37339、37397、59393、59399、71933、73331、73939、233993、239933、293999、373379、373393、 593933、593993、719333、739391、739393、739397、739399、2339933、2399333、2939999、3733799、5939333、7393913、 7393931、7393933、 23399339、29399999、37337999、59393339、73939133 ( OEISの配列A024770 )

最大のものは 8 桁の 73939133 です。5 を超えるすべての素数は 1、3、7、または 9 で終わるため、右切り捨て可能な素数には先頭の数字の後にそれらの数字のみを含めることができます。

左右に切り捨て可能な素数は920,720,315個ある: ^[1]

2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97、 127、131、137、139、 151、157、173、179、223、227、229、233、239、251、257、271、277、331、337、353、359、373、379、421、431、433、439、 457、479、 521、523、557、571、577、631、653、659、673、677、727、733、739、751、757、773、821、823、827、829、839、853、857、 859、877、929、937、953、971、977、1117、1171、1193、1231、1237、1291、1297、1319、1373、1433、1439、1471、1531、 1597年、1613年、1619年、 ...（OEISの配列A077390）

桁数が奇数で、左右に切り捨て可能な素数は 331,780,864 個あります。最大のものは、97 桁の素数 7228828176786792552781668926755667258635743361825711373791931117197999133917737137399993737111177 です。

偶数の桁を持つ、左右に切り捨て可能な素数は 588,939,451 個あります。最大のものは 104 桁の素数 91617596742869619884432721391145374777686825634291523771171391111313737919133977331737137933773713713973 です。

左切り捨て可能かつ右切り捨て可能な素数は 15 個あります。これらは両側素数と呼ばれています。完全なリストは次のとおりです。

2、3、5、7、23、37、53、73、313、317、373、797、3137、3797、739397 ( OEISの配列A020994 )

左切り捨て可能な素数は、その左拡張がすべて合成数である場合、つまり、この素数が左切り捨てられた「末尾」である他の左切り捨て可能な素数が存在しない場合に、制限付きと呼ばれます。したがって、7937 は、7937 で終わる 9 つの 5 桁の数字がすべて合成数であるため、制限付き左切り捨て可能な素数です。一方、3797 は、33797 も素数であるため、制限のない左切り捨て可能な素数です。

制限付き左切り捨て可能素数は 1442 個あります。

2、5、773、3373、3947、4643、5113、6397、6967、7937、15647、16823、24373、33547、34337、37643、56983、57853、59743、62383、63347、63617、69337、72467、72617、75653、76367、87643、92683、97883、98317、... (OEISのシーケンスA240768 )

同様に、右切り捨て可能な素数は、その右拡張がすべて合成数である場合、制限付き素数と呼ばれます。制限付き右切り捨て可能な素数は 27 個あります。

53、317、599、797、2393、3793、3797、7331、23333、23339、31193、31379、37397、73331、373393、593993、719333、739397、739399、2399333、7393931、7393933、23399339、29399999、37337999、59393339、73939133 ( OEISの配列A239747 )

数の素数性は使用される記数法に依存しませんが、切り捨て可能な素数は特定の基数との関係でのみ定義されます。バリエーションとして、一度に 2 桁以上の 10 進数桁を削除するものがあります。これは、100 または10 のより大きな累乗を使用するのと数学的に同等ですが、先頭に 0 がない 10 進数 n 桁の数値と一致させるために、10 のⁿ桁は少なくとも 10 ⁿ⁻¹でなければならないという制限があります。

• 交換可能な素数

• グライム、ドクター・ジェームズ。「357686312646216567629137」（動画）。YouTube。ブレイディ・ハラン。2021年12月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年7月27日閲覧。