ルベーグの補題

数学において、ルベーグの補題は近似理論における重要な命題である。これは射影誤差の境界値を与え、最適誤差に対する線形射影に基づく線形部分空間による近似誤差と射影の 演算子ノルムを制御する。

( V , ||·||)をノルムベクトル空間、U をVの部分空間、P をU上の線型射影とする。このとき、V内の各vに対して次の式が成り立つ。

${\displaystyle \|v-Pv\|\leq (1+\|P\|)\inf _{u\in U}\|vu\|.}$

証明は三角不等式の1行の応用である。U内の任意のuに対して、v − Pvを( v − u ) + ( u − Pu ) + P ( u − v )と書くと、次のようになる。

${\displaystyle \|v-Pv\|\leq \|vu\|+\|u-Pu\|+\|P(uv)\|\leq (1+\|P\|)\|uv\|}$

ここで最後の不等式は、 u = Puという事実と演算子ノルム || P ||の定義を併用しています。

• ルベーグ定数

• ロナルド・A・デヴォア;ジョージ G. ローレンツ(1993)。建設的近似。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 303. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-50627-6. MR  1261635. Zbl  0797.41016.