ルベーグの密度定理

数学において、ルベーグの密度定理は、任意のルベーグ可測集合 に対して、 の「密度」はのほぼすべての点で 0 または 1 であると述べています。さらに、 Aの「密度」はAのほぼすべての点で 1 です。直感的には、これはAの「エッジ」、つまりA内の点の集合で「近傍」が部分的にA内にあり部分的にA外にあるものは無視できることを意味します。 ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

μ をユークリッド空間 R ⁿ上のルベーグ測度とし、A をR ⁿのルベーグ可測部分集合とする。R ⁿ 上の点xの ε 近傍におけるAの近似密度を次のように 定義する。

${\displaystyle d_{\varepsilon }(x)={\frac {\mu (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\mu (B_{\varepsilon }(x))}}}$

ここで、B _{ε は}xを中心とする半径 ε の閉じた球を表します。

ルベーグの密度定理は、 Aのほぼすべての点xについて密度が

${\displaystyle d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}$

存在し、0 または 1 に等しい。

言い換えれば、あらゆる測定可能な集合Aに対して、 Aの密度はR ⁿのほぼすべての場所で0 か 1 になります。^[1]しかし、 μ( A ) > 0 かつ μ( R ⁿ  \  A ) > 0の場合、密度が 0 でも 1 でもない R ⁿの点が常に存在します 。

たとえば、平面に正方形がある場合、正方形内のすべての点の密度は 1 で、端では 1/2、角では 1/4 です。密度が 0 でも 1 でもない平面上の点の集合は空ではありませんが (正方形の境界)、無視できます。

ルベーグの密度定理は、ルベーグの微分定理の特殊な場合です。

^{したがって、この定理は}ルベーグ測度の代わりにRn上のすべての有限ボレル測度に対しても成り立ちます。議論を参照してください。

• ルベーグの微分定理 – 実解析における数学定理

• Hallard T. Croft. Steinhausの3つの格子点問題。Quart . J. Math. Oxford (2)、33:71-83、1982年。

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