クマーのシリーズ変革

数学、特に数値解析の分野において、クンマー変換は無限級数の収束を加速するために用いられる手法である。この手法は1837年にエルンスト・クンマーによって初めて提唱された。

させて $${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$$ を、その値を計算したい無限和とし、 $${\displaystyle B=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}}$$ 値が既知の比較可能な項を持つ無限和である。極限が $${\displaystyle \gamma$$ :=\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}} が存在する場合${\displaystyle a_{n}-\gamma \,b_{n}}$は常にゼロに向かう数列であり、その差によって与えられる級数は、${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-\gamma \,b_{n})}$収束する。${\displaystyle \gamma \neq 0}$この新しいシリーズはオリジナルとは異なります${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$そして、広い条件下では、より速く収束する。^{[ 1 ]} 次に計算する${\displaystyle A}$として

$${\displaystyle A=\gamma \,B+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-\gamma \,b_{n}),}$$

どこ${\displaystyle \gamma B}$は定数です。${\displaystyle a_{n}\neq 0}$項は積として表すことができる${\displaystyle (1-\gamma \,b_{n}/a_{n})\,a_{n}}$。 もし${\displaystyle a_{n}\neq 0}$すべての人々のために${\displaystyle n}$、和は、ゼロになる2つのシーケンスの成分ごとの積に関するものです。

$${\displaystyle A=\gamma \,B+\sum _{n=1}^{\infty }(1-\gamma \,b_{n}/a_{n})\,a_{n}}$$。

πに関するライプニッツの公式を考えてみましょう。 $${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \,=\,{\frac {\pi }{4}}。}$$ 用語をペアでグループ化します $${\displaystyle {\begin{aligned}&1-\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}\right)-\left({\frac {1}{7}}-{\frac {1}{9}}\right)+\cdots \\&\quad =1-2\left({\frac {1}{15}}+{\frac {1}{63}}+\cdots \right)=1-2A\end{aligned}}}$$ 私たちが特定する $${\displaystyle A=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16n^{2}-1}}.}$$ クンマー法を適用して加速します${\displaystyle A}$これにより、計算が加速されます${\displaystyle \pi =4-8A}$。

させて $${\displaystyle {\begin{aligned}B&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-1}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+\cdots \\&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{10}}+\cdots \end{aligned}}}$$ これは合計値が1/2の伸縮級数です。この場合 $${\displaystyle \gamma$$ :=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{16n^{2}-1}}{\frac {1}{4n^{2}-1}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {4n^{2}-1}{16n^{2}-1}}={\frac {1}{4}}} したがって、上記のクンマーの変換式は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4}}{\frac {\frac {1}{4n^{2}-1}}{\frac {1}{16n^{2}-1}}}\right){\frac {1}{16n^{2}-1}}\\&={\frac {1}{8}}-{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16n^{2}-1}}{\frac {1}{4n^{2}-1}}\end{aligned}}}$$ これは元の級数よりもはるかに速く収束する。

ライプニッツの公式に戻ると、次の表現が得られます。${\displaystyle \pi }$分離する${\displaystyle 3}$そして、偶数の二乗のみに関する急速に収束する和を含む。${\displaystyle (2n)^{2}}$、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=4-8A\\&=3+6\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(4(2n)^{2}-1)((2n)^{2}-1)}}\\&=3+{\frac {2}{15}}+{\frac {2}{315}}+{\frac {6}{5005}}+\cdots \end{aligned}}}$$

• オイラー変換

• ワイスタイン、エリック W. 「クマーの級数変換」。マスワールド。