クンマーの定理

数学において、クンマーの定理は、与えられた二項係数を割り切る素数 pの最大の累乗の指数を求める公式です。言い換えれば、二項係数のp進評価を与えます。この定理は、論文 (Kummer 1852) で証明した エルンスト・クンマーにちなんで名付けられました。

クンマーの定理は、与えられた整数 n  ≥  m  ≥ 0 と素数pに対して、二項係数のp進値は、 pを底とするn  −  mにmを加えたときの繰り上がりの数に等しいことを述べています。 ${\displaystyle \nu _{p}\!{\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ 

この定理の同等な構成は次のようになります。

整数の基数展開をと書き、 を基数桁の合計と定義します。すると、 ${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}}$${\displaystyle S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \nu _{p}\!{\binom {n}{m}}={\dfrac {S_{p}(m)+S_{p}(nm)-S_{p}(n)}{p-1}}.}$

この定理は、ルジャンドルの公式を用いて と書き表すことで証明できる。^[1]${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$${\displaystyle {\tfrac {n!}{m!(nm)!}}}$

二項係数を 2 で割って最大の 2 乗を計算するには、基数p = 2 でm = 3およびn − m = 7 を3 = 11 ₂および7 = 111 ₂と書きます。基数 2 で加算11 ₂ + 111 ₂ = 1010 ₂を実行するには、3 回の繰り上がりが必要です。 ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}}$

したがって、2 を割り切れる最大の累乗は3 です。 ${\displaystyle {\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15}$

あるいは、数字の合計を含む形式を使用することもできます。2進数の3、7、10の数字の合計はそれぞれ、、、です。 ${\displaystyle S_{2}(3)=1+1=2}$${\displaystyle S_{2}(7)=1+1+1=3}$${\displaystyle S_{2}(10)=1+0+1+0=2}$

${\displaystyle \nu _{2}\!{\binom {10}{3}}={\dfrac {S_{2}(3)+S_{2}(7)-S_{2}(10)} {2-1}}={\dfrac {2+3-2}{2-1}}=3.}$

クンマーの定理は、次のように多項式係数 に一般化できます。 ${\displaystyle {\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}}$

${\displaystyle \nu _{p}\!{\binom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\dfrac {1}{p-1}}\left(n-S_{p}(n)-\sum _{i=1}^{k}\left(m_{i}-S_{p}(m_{i})\right)\right).}$

• ルーカスの定理

• クンマー、エルンスト (1852)。 「Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen」。数学に関するジャーナル。1852 (44): 93–146。土井：10.1515/crll.1852.44.93。
• PlanetMathの Kummer の定理。