クロネッカーの補題

数学において、クロネッカーの補題（クロネッカーの補題、Shiryaev (1996, Lemma IV.3.2) を参照）は、無限和の収束と数列の収束の関係についての結果である。この補題は、大数の強い法則など、独立した確率変数の和に関する定理の証明でよく使用される。この補題は、ドイツの 数学者 レオポルド・クロネッカーにちなんで名付けられている。

が実数の無限列であり、 ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty}}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }x_{m}=s}$

が存在し有限であるならば、すべての場合 において${\displaystyle 0<b_{1}\leq b_{2}\leq b_{3}\leq \ldots }$${\displaystyle b_{n}\to \infty }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=0.}$

xの部分和を とします。部分和を用いると、 ${\displaystyle S_{k}}$

${\displaystyle {\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n}b_{k}x_{k}=S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}$

ε > 0 を任意に選択します。次に、 k > Nに対してε がsに近くなるようにN を選択します。これは、シーケンスがsに収束するときに実行できます。すると、右辺は次のようになります。 ${\displaystyle S_{k}}$${\displaystyle S_{k}}$

${\displaystyle S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}}$

${\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s)}$

${\displaystyle =S_{n}-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=1}^{N-1}(b_{k+1}-b_{k})S_{k}-{\frac {b_{n}-b_{N}}{b_{n}}}s-{\frac {1}{b_{n}}}\sum _{k=N}^{n-1}(b_{k+1}-b_{k})(S_{k}-s).}$

ここで、n を無限大にします。最初の項はsになり、3 番目の項と相殺されます。2 番目の項はゼロになります (合計が固定値であるため)。b シーケンスは増加しているため、最後の項は によって制限されます。 ${\displaystyle \epsilon (b_{n}-b_{N})/b_{n}\leq \epsilon }$