二次形式に関するカプランスキーの定理

数学において、カプランスキーの二次形式に関する定理は、二次形式による素数の同時表現に関する結果である。この定理は2003年にアーヴィング・カプランスキーによって証明された。^[1]

定理の記述

カプランスキーの定理によれば、1 を法として 16 と合同な素数p は、 x ² + 32 y ²とx ² + 64 y ²の両方で表現できるか、またはどちらでも表現できないが、 9 を法として 16 と合同な素数p は、これらの二次形式のうちの 1 つでのみ表現できる。

これらの各形式によって個別に表される素数は合同条件では記述できないため、これは注目に値する。 ^[2]

証拠

カプランスキーの証明では、2 がp を法として 4 乗となるのはp がx ² + 64 y ²で表せる場合のみであり、-4 がp を法として8 乗となるのはpがx ² + 32 y ²で表せる場合のみであるという事実を利用しています。

例

素数p = 17 は 1 を法として 16 と同値であり、x ² + 32 y ²でもx ² + 64 y ²でも表すことができません。
素数p = 113 は 1 を法とする 16 と合同であり、x ² + 32 y ²とx ² +64 y ²の両方で表すことができます(113 = 9 ² + 32×1 ²および 113 = 7 ² + 64×1 ²であるため)。
素数p = 41 は 9 を法として 16 と同値であり、x ² + 32 y ²で表すことができます(41 = 3 ² + 32×1 ^{2であるため) が、}x ² + 64 y ²では表せません。
素数p = 73 は 9 を法として 16 と同値であり、x ² + 64 y ²で表すことができます(73 = 3 ² + 64×1 ^{2であるため) が、}x ² + 32 y ²では表せません。

同様の結果

カプランスキーの定理に似た結果は5つ知られている: ^[3]

1 を法として 20 と合同な素数p は、 x ² + 20 y ²とx ² + 100 y ²の両方で表現できるか、またはどちらでも表現できません。一方、9 を法として 20 と合同な素数p は、これらの 2 次形式のいずれか 1 つで表現できます。
1、16、または 22 を法として 39 と合同な素数p は、 x ² + xy + 10 y ²とx ² + xy + 127 y ²の両方で表現できるか、またはどちらでも表現できません。一方、4、10、または 25 を法として 39 と合同な素数p は、これらの 2 次形式のいずれか 1 つで表現できます。
1、16、26、31、または 36 を法として 55 と合同な素数p は、 x ² + xy + 14 y ²とx ² + xy + 69 y ²の両方で表すことができるか、またはどちらでも表すことができません。一方、4、9、14、34、または 49 を法として 55 と合同な素数p は、これらの 2 次形式のいずれか 1 つで表すことができます。
112 を法として 1、65、または 81 と合同な素数p は、 x ² + 14 y ²とx ² + 448 y ²の両方で表すことができるか、またはどちらでも表すことができません。一方、112 を法として 9、25、または 57 と合同な素数p は、これらの 2 次形式のいずれか 1 つで表すことができます。
240 を法として 1 または 169 と合同な素数p は、 x ² + 150 y ²とx ² + 960 y ²の両方で表すことができるか、またはどちらでも表すことができません。一方、240 を法として 49 または 121 と合同な素数p は、これらの 2 次形式のいずれか 1 つで表すことができます。

定形を伴う同様の結果は他には存在しないと推測されます。

注記

^ カプランスキー、アーヴィング(2003)、「 $x + 32 y 2 と x + 64 y^2$ [ sic ] の形式」、アメリカ数学会紀要、131 (7): 2299–2300 (電子版)、doi : 10.1090/S0002-9939-03-07022-9、MR 1963780。
^ Cox, David A. (1989)、 $x$ $2$ $+ ny$ $2$ の形式の素数、ニューヨーク：John Wiley & Sons、ISBN 0-471-50654-0、MR 1028322。
^ ブリンク、デイビッド (2009)、「素数の二次形式による同時表現に関する 5 つの特異な定理」、Journal of Number Theory、129 (2): 464–468、doi :10.1016/j.jnt.2008.04.007、MR 2473893。

[1] カプランスキー、アーヴィング(2003)、「 $x + 32 y 2 と x + 64 y^2$ [ sic ] の形式」、アメリカ数学会紀要、131 (7): 2299–2300 (電子版)、doi : 10.1090/S0002-9939-03-07022-9、MR 1963780。

[2] Cox, David A. (1989)、 $x$ $2$ $+ ny$ $2$ の形式の素数、ニューヨーク：John Wiley & Sons、ISBN 0-471-50654-0、MR 1028322。

[3] ブリンク、デイビッド (2009)、「素数の二次形式による同時表現に関する 5 つの特異な定理」、Journal of Number Theory、129 (2): 464–468、doi :10.1016/j.jnt.2008.04.007、MR 2473893。