カルマン分解

制御理論において、カルマン分解は、線形時不変(LTI)制御システムの表現を、システムの観測可能および制御可能なコンポーネントを明確にする標準形式にシステムを分解できる形式に変換する数学的手段を提供します。この分解により、システムはより明快な構造で提示され、システムの到達可能および観測可能なサブスペースに関する結論を導きやすくなります。

連続時間LTI制御システムを考える

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$、

${\displaystyle \,y(t)=Cx(t)+Du(t)}$、

または離散時間LTI制御システム

${\displaystyle \,x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)}$、

${\displaystyle \,y(k)=Cx(k)+Du(k)}$。

カルマン分解は、次のように元の行列を変換することによって得られるこのシステムの 実現として定義されます。

${\displaystyle \,{\hat {A}}=TA{T}^{-1}}$、

${\displaystyle \,{\hat {B}}=TB}$、

${\displaystyle \,{\hat {C}}=C{T}^{-1}}$、

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$、

ここで、座標変換行列は次のように定義される。 ${\displaystyle \,T^{-1}}$

${\displaystyle \,T^{-1}={\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$、

そしてその部分行列は

• ${\displaystyle \,T_{r{\overline {o}}}}$ : 到達可能かつ観測不可能な状態の部分空間にまたがる列を持つ行列。
• ${\displaystyle \,T_{ro}}$ : の列が到達可能な部分空間の基底となるように選択されます。${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \,T_{\overline {ro}}}$ : の列が観測不可能な部分空間の基底となるように選択されます。${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{\overline {ro}}\end{bmatrix}}}$
• ${\displaystyle \,T_{{\overline {r}}o}}$ :逆行列が成り立つように選択される。${\displaystyle \,{\begin{bmatrix}T_{r{\overline {o}}}&T_{ro}&T_{\overline {ro}}&T_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

これらの行列の一部は次元がゼロになる場合があることがわかります。たとえば、システムが観測可能かつ制御可能である場合、となり、他の行列は次元がゼロになります。 ${\displaystyle \,T^{-1}=T_{ro}}$

制御可能性と観測可能性の結果を使用すると、変換されたシステムが次の形式の行列を持つ ことがわかります。${\displaystyle \,({\hat {A}},{\hat {B}},{\hat {C}},{\hat {D}})}$

${\displaystyle \,{\hat {A}}={\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}&A_{13}&A_{14}\\0&A_{ro}&0&A_{24}\\0&0&A_{\overline {ro}}&A_{34}\\0&0&0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {B}}={\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\\0\\0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {C}}={\begin{bmatrix}0&C_{ro}&0&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \,{\hat {D}}=D}$

このことから、

• サブシステムは到達可能かつ観測可能です。${\displaystyle \,(A_{ro},B_{ro},C_{ro},D)}$
• サブシステムに到達可能です。${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{r{\overline {o}}}&A_{12}\\0&A_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{r{\overline {o}}}\\B_{ro}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&C_{ro}\end{bmatrix}},D\right)}$
• サブシステムは観測可能です。${\displaystyle \,\left({\begin{bmatrix}A_{ro}&A_{24}\\0&A_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}B_{ro}\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}C_{ro}&C_{{\overline {r}}o}\end{bmatrix}},D\right)}$

カルマン分解は線形動的量子システムにも存在する。古典的な動的システムとは異なり、この変種で使用される座標変換は、量子力学の物理法則により、特定のクラスの変換である必要があります。^[1]

• 実現（システム）
• 可観測性
• 制御性

• 動的システムと制御に関する講義、講義 25 - Mohammed Dahleh  [ar]、Munther Dahleh、 George Verghese — MIT OpenCourseWare