運動学 において、ケーニッヒの定理 またはケーニッヒの分解は、 ヨハン・ザムエル・ケーニッヒ によって導き出された数学的な関係であり、物体や粒子系の角運動量と運動エネルギーの計算に役立つ。
粒子のシステムの場合 この定理は二つの部分に分かれている。
最初の部分は、系の角運動量を、 重心 の角運動量 と、重心 に対して粒子に作用する角運動量 の合計として表している。[ 1 ]
L → = r → C o M × ∑ 私 m 私 v → C o M + L → ′ = L → C o M + L → ′ {\displaystyle \displaystyle {\vec {L}}={\vec {r}}_{CoM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{CoM}+{\vec {L}}'={\vec {L}}_{CoM}+{\vec {L}}'}
証拠 原点Oを持つ慣性座標系 を考えると、系の角運動量は 次のように定義できる。
L → = ∑ 私 （ r → 私 × m 私 v → 私 ） {\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{i}\times m_{i}{\vec {v}}_{i})}
単一粒子の位置は次のように表すことができます。
r → 私 = r → C o M + r → 私 ′ {\displaystyle {\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{CoM}+{\vec {r}}'_{i}}
こうして、単一粒子の速度を定義することができる。
v → 私 = v → C o M + v → 私 ′ {\displaystyle {\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CoM}+{\vec {v}}'_{i}}
最初の式は次のようになります。
L → = ∑ 私 （ r → C o M + r → 私 ′ ） × m 私 （ v → C o M + v → 私 ′ ） {\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}({\vec {r}}_{CoM}+{\vec {r}}'_{i})\times m_{i}({\vec {v}}_{CoM}+{\vec {v}}'_{i})} L → = ∑ 私 r → 私 ′ × m 私 v → 私 ′ + （ ∑ 私 m 私 r → 私 ′ ） × v → C o M + r → C o M × ∑ 私 m 私 v → 私 ′ + ∑ 私 r → C o M × m 私 v → C o M {\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}'_{i}\times m_{i}{\vec {v}}'_{i}+\left(\sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}'_{i}\right)\times {\vec {v}}_{CoM}+{\vec {r}}_{CoM}\times \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}+\sum \limits _{i}{\vec {r}}_{CoM}\times m_{i}{\vec {v}}_{CoM}} しかし、以下の項はゼロに等しい。
∑ 私 m 私 r → 私 ′ = 0 {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {r}}'_{i}=0}
∑ 私 m 私 v → 私 ′ = 0 {\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}=0}
したがって、我々は次のことを証明する。
L → = ∑ 私 r → 私 ′ × m 私 v → 私 ′ + M r → C o M × v → C o M {\displaystyle {\vec {L}}=\sum \limits _{i}{\vec {r}}'_{i}\times m_{i}{\vec {v}}'_{i}+M{\vec {r}}_{CoM}\times {\vec {v}}_{CoM}}
ここで、Mはシステム全体の質量である。
第２部では、粒子系の運動エネルギーを、個々 の 粒子の速度と重心を用いて表します。
具体的には、粒子系の運動エネルギーは、 重心 の移動に関連する運動エネルギー と、重心 に対する粒子の移動に関連する運動エネルギー の合計であると述べている。[ 2 ]
K = K ′ + K CoM {\displaystyle K=K'+K_{\text{CoM}}}
証拠 システムの全運動エネルギーは次のとおりです。
K = ∑ 私 1 2 m 私 v 私 2 {\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}}
最初の部分で行ったように、速度を代入します。
K = ∑ 私 1 2 m 私 | v ¯ 私 ′ + v ¯ CoM | 2 {\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}|{\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}}|^{2}} K = ∑ 私 1 2 m 私 （ v ¯ 私 ′ + v ¯ CoM ） ⋅ （ v ¯ 私 ′ + v ¯ CoM ） = ∑ 私 1 2 m 私 v 私 ′ 2 + v ¯ CoM ⋅ ∑ 私 m 私 v ¯ 私 ′ + ∑ 私 1 2 m 私 v CoM 2 {\displaystyle K=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}})\cdot ({\bar {v}}'_{i}+{\bar {v}}_{\text{CoM}})=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}+{\bar {v}}_{\text{CoM}}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CoM}}^{2}} 私たちは知っているv ¯ C o M ⋅ ∑ 私 m 私 v ¯ 私 ′ = 0 、 {\displaystyle {\bar {v}}_{CoM}\cdot \sum _{i}m_{i}{\bar {v}}'_{i}=0,}
K ′ = ∑ 私 1 2 m 私 v 私 ′ 2 {\displaystyle K'=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{v'_{i}}^{2}}
K CoM = ∑ 私 1 2 m 私 v CoM 2 = 1 2 M v CoM 2 {\displaystyle K_{\text{CoM}}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{\text{CoM}}^{2}={\frac {1}{2}}Mv_{\text{CoM}}^{2}}
残るのは以下の通り：
K = K ′ + K CoM {\displaystyle K=K'+K_{\text{CoM}}}
剛体の場合 この定理は剛体 にも適用でき、ある慣性座標系 Nに固定された観測者から見た剛体の運動エネルギーKは次のように表される。
N K = 1 2 m ⋅ N v ¯ ⋅ N v ¯ + 1 2 N H ¯ ⋅ N ω R {\displaystyle ^{N}K={\frac {1}{2}}m\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }\cdot {^{N}\mathbf {\bar {v}} }+{\frac {1}{2}}{^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }\cdot ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}}
どこm {\displaystyle {m}} N v ¯ {\displaystyle {^{N}\mathbf {\bar {v}} }} N H ¯ {\displaystyle {^{N}\!\mathbf {\bar {H}} }} 角運動量 である。N ω R {\displaystyle ^{N}{\!\!\mathbf {\omega } }^{R}} [ 3 ]
参考文献 Hanno Essén:平均角速度 (1992)、力学部、王立工科大学、S-100 44 ストックホルム、スウェーデン。 Samuel König (Sam. Koenigio): De universali principio æquilibrii & motus, in viva reperto, deque nexu inter vim vivam & actionem, utriusque minimo, dissertatio , Nova acta eruditorum (1751) 125-135, 162-176 ( Archived )。 Paul A. Tipler および Gene Mosca (2003)、『科学者と技術者のための物理学（ペーパーバック）：第 1A 巻：力学（科学者と技術者のための物理学）』、WH Freeman 編、ISBN 0-7167-0900-7
参考文献 ↑ Essén, Hanno (1993). "平均角速度". European Journal of Physics . 14 (5): 201–205 . arXiv : physics/0401146 . Bibcode : 1993EJPh...14..201E . doi : 10.1088/0143-0807/14/5/002 . S2CID 250879804 . ↑ Essén, Hanno (1993). "平均角速度". European Journal of Physics . 14 (5): 201–205 . arXiv : physics/0401146 . Bibcode : 1993EJPh...14..201E . doi : 10.1088/0143-0807/14/5/002 . S2CID 250879804 . ↑ Rao, Anil V. 粒子と剛体の力学：体系的なアプローチ 。ケンブリッジ大学出版局。p. 421。 
