ヤコビ変換

数学において、ヤコビ変換は数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビにちなんで名付けられた積分変換であり、ヤコビ多項式を変換の核として使用する。^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$

関数のヤコビ変換は^[5]${\displaystyle F(x)}$

${\displaystyle J\{F(x)\}=f^{\alpha ,\beta }(n)=\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)\ F(x)\ dx}$

逆ヤコビ変換は次のように与えられる。

${\displaystyle J^{-1}\{f^{\alpha ,\beta }(n)\}=F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{\delta _{n}}}f^{\alpha ,\beta }(n)P_{n}^{\alpha ,\beta }(x),\quad {\text{where}}\quad \delta _{n}={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{n!(\alpha +\beta +2n+1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)}}}$