強度-持続時間-周波数曲線

強度-持続時間-頻度曲線（IDF曲線）は、イベント（降雨量など）の強度をその持続時間および発生頻度と関連付ける数学関数です。 ^[1]頻度は発生確率の逆数です。これらの曲線は、洪水予測のための水文学や都市排水設計のための土木工学でよく使用されます。しかし、降雨量の時間集中や時間構造への関心から、IDF曲線は水文気象学でも分析されています。 ^{[2] [3]}また、干ばつイベントに対してIDF曲線を定義することもできます。^{[4] [5]}さらに、IDF曲線のリスクベース設計への応用は水文気象学以外でも出現しており、たとえば、米国の都市への食品サプライチェーンの流入ショックに対するIDF曲線を開発した著者もいます。^[6]

IDF曲線は、観測されたイベントデータに理論的または経験的に当てはめたさまざまな数式を取ることができます。各持続時間（例：5、10、60、120、180分...）に対して、経験的累積分布関数（ECDF）と、決定された頻度または再来期間が設定されます。したがって、経験的IDF曲線は、発生頻度が等しく持続時間と強度が異なる点の結合によって与えられます^[7]同様に、理論的または半経験的IDF曲線は、その数式表現が物理的に正当化されているが、経験的適合によって推定しなければならないパラメータを示す曲線です。

強度 ( I )、持続時間 ( t )、および再現期間 ( p ) を、次のようなべき乗則に 当てはめる経験的アプローチは数多くあります。

• シャーマンの公式^[8]は、 3つのパラメータ（a、c、n ）を持ち、再来周期pの関数である 。

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{(t+c)^{n}}}}$

• チョウの公式^[9]も、特定の再来期間pに対して3つのパラメータ（a、c、n ）を持ちます。

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}+c}}}$

• ^{アパリシオ（1997） [10]}によるべき乗則では、 4つのパラメータ（a、c、m、n）が、関心対象のすべての再来期間に合わせて調整されている。

${\displaystyle I(t,p)=a\cdot {\frac {p^{m}}{(t+c)^{n}}}}$

水文気象学では、降雨量の時間構造を測る尺度として、単純なべき乗則（ をとる）が用いられる： ^[2]${\displaystyle \c=0}$

${\displaystyle I(t)={\frac {a}{t^{n}}}=I_{o}\left({\frac {t_{o}}{t}}\right)^{n}}$

ここで、は固定時間における基準強度、すなわちとして定義され、はn指数と呼ばれる無次元パラメータである。^{[2] [3]降雨イベントにおいて、IDF曲線に相当するものは}最大平均強度（MAI）曲線と呼ばれる。^[11]${\displaystyle \I_{o}}$${\displaystyle \t_{o}}$${\displaystyle \ a=I_{o}t_{o}^{n}}$${\displaystyle \n}$

確率分布からIDF 曲線を得るには、平均強度 と継続時間に直接関連するイベントの総量または深さを、方程式 によって数学的に分離する必要があります。また、再来周期は の逆数として定義されているため、関数 はの逆数として次のように求められます。 ${\displaystyle \F(x)}$${\displaystyle \x}$${\displaystyle \ I}$${\displaystyle \t}$${\displaystyle \ x=It}$ ${\displaystyle p}$${\displaystyle \ 1-F(x)}$${\displaystyle \f(p)}$${\displaystyle \F(x)}$

${\displaystyle It=f(p)\quad \Leftarrow \quad p={\frac {1}{1-F(It)}}}$

• パレート分布から導出された、固定期間における再来周期を持つべき乗則:${\displaystyle \t}$

${\displaystyle \ I(p)=kp^{m}\quad \Leftarrow \quad F(It)=1-\left({\frac {kt}{It}}\right)^{1/m}=1-{\frac {1}{p}}}$

ここで、パレート分布定数は として再定義されており、イベントの特定の期間に有効な分布であるため、 として扱われています。${\displaystyle \ k'=kt}$${\displaystyle \ x=It}$

• 与えられた期間に対する一般化パレート分布から導出される関数:${\displaystyle \t}$

${\displaystyle I(p)={\begin{cases}\mu +{\frac {\sigma }{m}}\cdot (p^{m}-1)\quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\left(1+{\frac {m(I-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/m}=1-{\frac {1}{p}}&{\text{if }}m>0,\\\quad \mu +\sigma \ln(p)\quad \quad \Leftarrow \quad F(I)=1-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)=1-{\frac {1}{p}}&{\text{if }}m=0.\end{cases}}}$

yの場合、一般化パレート分布は、 のパレート分布の単純形を取得することに注意してください。ただし、 の場合は指数分布が取得されます。${\displaystyle \m>0}$${\displaystyle \ \mu ={\frac {\sigma }{m}}}$${\displaystyle \ k'={\frac {\sigma }{m}}}$${\displaystyle \m=0}$

• 与えられた期間について、ガンベル分布と逆ガンベル分布から推定される関数:${\displaystyle \t}$

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln \left(\ln \left(1-{\frac {1}{p}}\right)\right)\quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$

${\displaystyle I(p)=\mu +\sigma \ln(\ln p)\quad \quad \quad \quad \quad \Leftarrow \quad \quad F(I)=1-\exp \left(-\exp \left({\frac {I-\mu }{\sigma }}\right)\right)=1-{\frac {1}{p}}}$