個別ピースセット

公平なケーキカットの理論では、個別ピースセット (IPS) は、ケーキの分割におけるすべての可能な効用ベクトルを表す幾何学的オブジェクトです。

4 つの部分でできたケーキがあるとします。アリスとジョージという 2 人の人がいて、それぞれ好みが異なります。ケーキの各部分にそれぞれ異なる価値を置いています。以下の表は、各部分とその価値を示しています。

ケーキはさまざまな方法で分割できます。各分割 (アリスのピース、ジョージのピース) によって、異なる効用ベクトル (アリスの効用、ジョージの効用) が生成されます。IPS は、すべての可能な分割の効用ベクトルの集合です。

サンプルケーキの IPS は右側に表示されます。

IPS は凸集合であり、コンパクト集合です。これはDubins-Spanier の定理に従います。

エージェントが 2 人いる場合、IPS は中間点 (この場合は点 (15,15)) を挟んで対称になります。IPS上の int をいくつか取得します。この点はパーティションから取得されます。Alice と George のピースを交換します。すると、Alice の新しい効用は 30 から以前の効用を引いた値になり、George の新しい効用は 30 から以前の効用を引いた値になるため、対称点も IPS 上にあります。 ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (30-x,30-y)}$

IPS の右上の境界はパレート境界です。これは、すべてのパレート効率的なパーティションの集合です。2 つのエージェントの場合、この境界は次のように構築できます。

• 限界効用比（ジョージの効用 / アリスの効用）の昇順でケーキを並べます。上記の例では、順序は次のようになります：レモン（0）、チョコレート（1）、バニラ+チェリー（4）。
• すべてのケーキがジョージに渡される地点（0,30）から始めます。
• 各ケーキをジョージからアリスの順に移動し、対応する効用比率の傾きを持つ線を描きます。
• すべてのケーキがアリスに渡された時点で終了します (30,0)。

IPSはデュバンス・スパニエの定理の一部として導入され、ウェラーの定理の証明に使用されました。「Individual Pieces set」という用語は、ジュリアス・バルバネルによって造られました。^[1]

• ラドン・ニコディム集合