超幾何的恒等式

数学において、超幾何等式は、超幾何級数に現れる係数など、超幾何項の和に関する等式です。これらの等式は、組み合わせ問題の解決や、アルゴリズムの解析で頻繁に現れます。

これらの恒等式は、従来は「手作業」で見つけられていました。現在では、すべての超幾何恒等式を 見つけて証明できるアルゴリズムがいくつかあります。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{n \choose k}=n2^{n-1}}$

${\displaystyle \sum _{i=n}^{N}i{i \choose n}=(n+1){N+2 \choose n+2}-{N+1 \choose n+1}}$

超幾何用語には 2 つの定義があり、それぞれ異なる場合に使用されます (以下で説明)。超幾何級数も参照してください。

項t _kが超幾何項である場合、

${\displaystyle {\frac {t_{k+1}}{t_{k}}}}$

はkの有理関数です。

項F(n,k)が超幾何項であるとき、

${\displaystyle {\frac {F(n,k+1)}{F(n,k)}}}$

はkの有理関数です。

超幾何項の和には定和と不定和の2種類がある。定和は次の形式である。

${\displaystyle \sum _{k}t_{k}.}$

不定和は次の形式をとる。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}F(n,k).}$

過去には多くの特定の恒等式の証明が見つかっていますが、恒等式を見つけて証明するための一般的なアルゴリズムもいくつか存在します。これらのアルゴリズムは、まず超幾何項の合計の簡単な式を見つけ、次に恒等式の正しさを誰でも確認して証明できる証明書を提供します。

それぞれの超幾何和型には、単純な式を見つけるための 1 つ以上のメソッドが存在します。これらのメソッドは、アイデンティティの証明を確認するための証明書も提供します。

• 定和：シスター・セリーヌ法、ツァイルバーガー法
• 不定和：ゴスパーのアルゴリズム

Marko Petkovšek、Herbert Wilf、Doron Zeilbergerによる著書「A = B」では、上記の 3 つの主なアプローチについて説明しています。

• ニュートン級数表

• 「A = B」という本は、インターネットから無料でダウンロードできます。
• exampleproblems.com の特殊関数の例