ホールディッチの定理

平面幾何学において、ホールディッチの定理は、長さが固定された弦が凸閉曲線の内側で回転する場合、弦上の一端から距離p 、他端から距離qにある点の軌跡は、その囲まれた面積が元の曲線の面積よりも だけ小さい閉曲線になることを述べています。この定理は、1858 年にハムネット ホールディッチ牧師によって発表されました。^{[1] [2]}ホールディッチは言及していませんが、定理の証明には、弦が十分短く、軌跡が単純な閉曲線であるという仮定が必要です。^[3]${\displaystyle \pi pq}$

この定理は、数学の歴史におけるクリフォード・ピックオーバーの250のマイルストーンの1つに含まれています。^[1]この定理の特徴としては、面積の公式が元の曲線の形とサイズの両方に依存せず、半軸pとqを持つ楕円の面積の公式と同じであることです。この定理の著者は、ケンブリッジ大学ケイアス・カレッジの学長でした。 ${\displaystyle \pi pq}$

Broman ^[3]は、この定理のより正確な記述と一般化を与えている。この一般化により、例えば、外側の曲線が三角形である場合を考慮することが可能になり、この場合には、弦の端点の経路には鋭角を通過するたびに逆行部分（元に戻る部分）があるため、ホールディッチの定理の正確な記述の条件は成立しなくなる。しかし、一般化により、弦が三角形のどの高さよりも短く、軌跡が単純曲線になるほど短い場合、中間領域に対するホールディッチの公式は依然として正しいことが示される（また、弦が十分に短い任意の凸多角形に三角形を置き換えても、その正しさは維持される）。ただし、他の場合には異なる公式となる。

• B. ウィリアムソン FRS、「積分計算に関する初等的論文:平面曲線および曲面への応用、多数の例を含む」(Longmans、グリーン、ロンドン、1875 年; 第 2 版 1877 年; 第 3 版 1880 年; 第 4 版 1884 年; 第 5 版 1888 年; 第 6 版 1891 年; 第 7 版 1896 年; 第 8 版 1906 年; 1912、1916、1918、1926 年); 1875 年第 1 号、pp. 192–193、1857 年のThe Lady's and Gentleman's Diaryに掲載された Holditch の Prize Question の引用(1856 年後半に登場)、1858 年号で Woolhouse による拡張あり; 第 5 版 1888 年; 1906年8号 206～211ページ
• J. Edwards, A Treatise on the Integral Calculus with Applications, Examples and Problems, 第 1 巻 (Macmillan, London, 1921)、第 XV 章、特にセクション 478、481 ～ 491、496 (瞬間中心、ルーレット、グリゼットについては第 XIX 章も参照)。Woolhouse、Elliott、Leudesdorf、Kempe による拡張を解説し、参照しています。これは Williamson の以前の本に基づいています。
• Kılıç, Erol; Keleş, Sadık (1994)、「Holditch の定理と極慣性運動量について」、アンカラ大学コミュニケーション科学学部、シリーズ A1: 数学と統計、43 (1–2): 41–47 (1996)、MR  1404786
• クッカー、マーク J. (1998 年 7 月)、「閉曲線内の面積に関するホールディッチの定理の拡張」、数学ガゼット、82 (494): 183–188、doi :10.2307/3620400、JSTOR  3620400、S2CID  123443685
• クッカー、マーク J. (1999 年 3 月)、「領域を掃き出すことについて」、数学ガゼット、83 (496): 69–73、doi :10.2307/3618685、JSTOR  3618685、S2CID  125103358
• アポストル、トム M. ;ムナツァカニアン、マミコン A. (2012)、「9.13 ホールディッチの定理に関する注釈」、ニューホライズンインジオメトリ、ドルチアーニ数学解説集、第 47 巻、ワシントン DC: アメリカ数学協会、pp. 291–294、ISBN 978-0-88385-354-2、MR3024916 ​

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• ワイスシュタイン、エリック W.、「ホールディッチの定理」、MathWorld