ホドリック・プレスコットフィルタ

ホドリック・プレスコット・フィルタ（ホドリック・プレスコット分解とも呼ばれる）は、マクロ経済学、特に実体景気循環理論において、生データから時系列の周期的要素を除去するために使用される数学的ツールである。これは、短期変動よりも長期変動に敏感な時系列の滑らかな曲線表現を取得するために使用されます。短期変動に対するトレンドの感度の調整は、乗数を変更することによって実現されます。 ${\displaystyle \lambda}$

このフィルタは、経済学者のロバート・J・ホドリックとノーベル賞受賞者のエドワード・C・プレスコットによって1990年代に経済学の分野で普及しましたが、^[1]最初に提案されたのは1923年のET・ウィテカーでした。 ^{[2]ホドリック・プレスコットフィルタは、}平滑化スプラインの特殊なケースです。^[3]

この方法論の根拠は、時系列の分解に関連するアイデアを利用している。を時系列変数の対数とすると、時系列はトレンド成分と周期成分から構成され、となる。^{[4] の}適切に選択された正の値が与えられた場合、トレンド成分が存在し、 ${\displaystyle y_{t}\,}$${\displaystyle t=1,2,...,T\,}$${\displaystyle y_{t}\,}$${\displaystyle \tau_{t}}$${\displaystyle c_{t}}$${\displaystyle y_{t}\ =\tau _{t}\ +c_{t}\,}$${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \min _{\tau }\left(\sum _{t=1}^{T}{(y_{t}-\tau _{t})^{2}}+\lambda \sum _{t=2}^{T-1}{[(\tau _{t+1}-\tau _{t})-(\tau _{t}-\tau _{t-1})]^{2}}\right).\,}$

方程式の最初の項は偏差の二乗の合計で、周期的要素にペナルティを課します。2 番目の項は、トレンド要素の 2 番目の差の二乗の合計の倍数です。この 2 番目の項は、トレンド要素の成長率の変動にペナルティを課します。の値が大きいほど、ペナルティが大きくなります。Hodrick と Prescott は、四半期データの場合のの値として 1600 を提案しています。Ravn と Uhlig (2002) は、 は頻度観測比の 4 乗で変化するべきであると述べています。したがって、 は年間データの場合は 6.25 (1600/4^4)、月次データの場合は 129,600 (1600*3^4) に等しくなります。 ^[5]ただし 、実際には、年間データの場合は 、月次データは がよく使用されます。 ${\displaystyle d_{t}=y_{t}-\tau_{t}}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \lambda =100}$${\displaystyle \lambda =14,400}$

ホドリック・プレスコットフィルタは次のように明示的に与えられる。

${\displaystyle {\mathit {HP}}=\left[\lambda L^{2}-4\lambda L+(1+6\lambda )-4\lambda L^{-1}+\lambda L^{- 2}\右]^{-1}}$

ここで、最小化問題の一次条件からわかるように、 は遅れ演算子を表します。${\displaystyle L}$

ホドリック・プレスコットフィルタは、以下の場合にのみ最適となる：^[6]

• データはI(2)トレンドで存在します。
  • 一時的な永続的なショックや成長率の分裂が発生した場合、フィルターは実際には存在しないトレンドの変化を生成します。
• データ内のノイズはほぼ正規分布します。
• 分析は純粋に履歴的かつ静的（閉じたドメイン）です。フィルターを動的に使用すると、アルゴリズムが（移動平均とは異なり）時系列の過去の状態を変更して（最小化の反復中に）、使用されるサイズに関係なく現在の状態に合わせて調整するため、誤った予測が生じる可能性があります。${\displaystyle \lambda }$

標準的な両側ホドリック・プレスコット・フィルタは、純粋に過去を振り返るものではないため、非因果的である。したがって、再帰的状態空間表現に基づく DSGE モデル (例: カルマン・フィルタを使用する尤度ベースの方法) を推定する際には使用すべきではない。その理由は、ホドリック・プレスコット・フィルタは、現在の時点 を構築するため に の観測値を使用するのに対し、再帰的設定では現在と過去の状態のみが現在の観測値に影響を与えると想定しているためである。これを回避する 1 つの方法は、片側ホドリック・プレスコット・フィルタを使用することである。^[7]${\displaystyle t+i,i>0}$${\displaystyle t}$

両側ホドリック・プレスコットフィルタの信号対雑音比に関する正確な代数式が存在する。^[8]${\displaystyle \lambda }$

カリフォルニア大学サンディエゴ校のジェームズ・D・ハミルトンによる「なぜホドリック・プレスコット・フィルタを決して使用すべきではないのか」 ^[9]と題するワーキングペーパーでは、HPフィルタの使用に反対する証拠が提示されています。ハミルトンは次のように書いています。

1. HP フィルターは、基礎となるデータ生成プロセスに根拠のない、偽の動的関係を持つシリーズを生成します。
2. フィルターの片側バージョンでは、誤った予測可能性は低減されますが、完全に排除されるわけではなく、さらに、HP フィルターのほとんどの潜在的なユーザーが求める特性を持たないシリーズが生成されます。
3. 問題を統計的に定式化すると、通常、平滑化パラメータの値は一般的な慣行とは大きく異なるものになります。たとえば、四半期データの場合、λ の値は 1600 をはるかに下回ります。
4. もっと良い方法があります。日付 t+h の変数を日付 t の最新の 4 つの値で回帰すると、HP フィルターのユーザーが求めるすべての目的を欠点なしで達成できる、トレンド除去の堅牢なアプローチが提供されます。」

ロバート・J・ホドリックの「シミュレートされたデータにおけるトレンド・サイクル分解方法論の探究」^[10]と題されたワーキングペーパーでは、ジェームズ・D・ハミルトンの提案する代替アプローチが、米国の実質GDPを近似するように調整されたいくつかのシミュレートされた時系列の循環的要素を抽出する上で、HPフィルターよりも実際に優れているかどうかを検証しています。ホドリックは、明確な成長要素と循環要素がある時系列の場合、HPフィルターはハミルトンの代替案よりも循環的要素を分離するのに近づくことを発見しました。

• バンドパスフィルタ
• カルマンフィルタ
• スムージングスプライン

• エンダース、ウォルター (2010)。「トレンドと一変量​​分解」。応用計量時系列(第 3 版)。ニューヨーク: ワイリー。pp. 247–7。ISBN 978-0470-50539-7。
• ファヴェロ、カルロ A. (2001)。応用マクロ計量経済学。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp. 54–5。ISBN 0-19-829685-1。
• ミルズ、テレンス C. (2003)。「経済時系列のフィルタリング」。経済時系列の傾向とサイクルのモデリング。ニューヨーク: パルグレイブ マクミラン。pp. 75–102。ISBN 1-4039-0209-7。

• フリーウェアの Hodrick Prescott Excel アドイン
• プレスコットのFortranコード
• Matlab での Hodrick–Prescott フィルター
• MATLAB での片側 Hodrick–Prescott フィルター
• R の HP フィルター (パッケージ 'mFilter' を使用)
• HPフィルターオンラインアプリ
• Excel の片側 Hodrick-Prescott フィルター