ヒルベルトの不等式

数学の一分野である解析学において、ヒルベルトの不等式は次のように述べている。

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{rs}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}.}$

複素数の任意の列u ₁、u ₂、...に対して成り立ちます。これは、定数 πの代わりに定数2 πを用いてDavid Hilbertによって最初に実証されました。シャープ定数はIssai Schurによって発見されました。これは、離散ヒルベルト変換がℓ ₂における有界演算子であることを意味します。

( u _m )を複素数の列とします。列が無限大の場合、平方和可能であると仮定します。

${\displaystyle \sum _{m}|u_{m}|^{2}$

ヒルベルトの不等式（スティール（2004）参照）は、

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{rs}}\right|\leq \pi \displaystyle \sum _{r}|u_{r}|^{2}.}$

1973年、モンゴメリーとヴォーンは、双線型形式を考慮したヒルベルトの不等式のいくつかの一般化を報告した。

${\displaystyle \sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u}}_{s}\csc \pi (x_{r}-x_{s})}$

そして

${\displaystyle \sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u}}_{s}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}},}$

ここで、x ₁、x ₂、...、x _{m は}1 を法とする異なる実数（つまり、商群 R / Zの異なるクラスに属する）であり、λ ₁、...、λ _{m は}異なる実数である。モンゴメリとヴォーンによるヒルベルトの不等式の一般化は次のように与えられる。

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u_{s}}}\csc \pi (x_{r}-x_{s})\right|\leq \delta ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.}$

そして

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq \pi \tau ^{-1}\sum _{r}|u_{r}|^{2}.}$

どこ

${\displaystyle \delta ={\min _{r,s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|,\quad \tau =\min _{r,s}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,}$

${\displaystyle \|s\|=\min _{m\in \mathbb {Z} }|sm|}$

はsから最も近い整数までの距離であり、min _+は最小の正の値を表します。さらに、

${\displaystyle 0<\delta _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|x_{r}-x_{s}\|\quad {\text{and}}\quad 0<\tau _{r}\leq {\min _{s}}{}_{+}\|\lambda _{r}-\lambda _{s}\|,}$

次の不等式が成り立ちます。

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}u_{r}{\overline {u_{s}}}\csc \pi (x_{r}-x_{s})\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\sum _{r}|u_{r}|^{2}\delta _{r}^{-1}.}$

そして

${\displaystyle \left|\sum _{r\neq s}{\dfrac {u_{r}{\overline {u_{s}}}}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}\right|\leq {\dfrac {3}{2}}\pi \sum _{r}|u_{r}|^{2}\tau _{r}^{-1}.}$

• オンライン ブックの章「ヒルベルトの不等式と補償困難」は、Steele, J. Michael (2004) から抜粋しました。「第 10 章: ヒルベルトの不等式と補償困難」。コーシー シュワルツ マスター クラス: 数学的不等式の入門。ケンブリッジ大学出版局。155 ～ 165 ページ。ISBN 0-521-54677-X。。
• Montgomery, HL ; Vaughan, RC (1974). 「ヒルベルトの不等式」. J. London Math. Soc . Series 2. 8 : 73–82. doi :10.1112/jlms/s2-8.1.73. ISSN  0024-6107.

• ゴドゥノバ、EK (2001) [1994]、「ヒルベルト不等式」、数学百科事典、EMS プレス