ホークス過程

確率論と統計学において、ホークス過程はアラン・G・ホークスにちなんで名付けられた、自己励起点過程の一種である。 [ ^1]時間間隔中に到着する無限小確率が${\textstyle 0<t_{1><t_{2><t_{3><\cdots }$${\textstyle [t,t+dt)}$

${\displaystyle \lambda _{t}\,dt=\left(\mu (t)+\sum _{t_{i}\,:\,t_{i}\,<\,t}\phi (t-t_{i})\right)\,dt.}$

関数は、基礎となるポアソン過程の強度です。最初の到着は時刻 で発生し、その直後に強度は になり、2 回目の到着時刻には強度が に跳ね上がります。^[2]${\textstyle \mu }$${\textstyle t_{1}}$${\textstyle \mu (t)+\phi (t-t_{1})}$${\textstyle t_{2}}$${\textstyle \mu (t)+\phi (t-t_{1})+\phi (t-t_{2})}$

時間間隔 の間、プロセス は強度 を持つ独立したプロセスの合計です。強度 であるプロセスへの到着は、時間 での到着の「娘」です。積分 は各到着の娘の平均数であり、分岐比と呼ばれます。したがって、一部の到着を以前の到着の子孫と見なすと、ゴルトン・ワトソン分岐プロセスが得られます。分岐比が 1 以下の場合、そのような子孫の数は確率 1 で有限です。分岐比が 1 より大きい場合、各到着は無限数の子孫を持つ正の確率を持ちます。 ${\textstyle (t_{k},t_{k+1})}$${\textstyle k+1}$${\textstyle \mu (t),\phi (t-t_{1}),\ldots ,\phi (t-t_{k}).}$${\textstyle \phi (t-t_{k})}$${\textstyle t_{k}.}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\phi (t)\,dt}$

ホークス過程は、数理ファイナンス、^[3] 疫学、^[4]地震学、^[5]その他ランダムな事象が自己励起的な振る舞いを示す分野における事象の統計的モデリングに使用されている。 ^{[6] [7]}

• ポイントプロセス
• 自己振動

• バクリ、エマニュエル。マストロマッテオ、イアコポ。ミュジー、ジャン＝フランソワ（2015）。 「金融におけるホークスのプロセス」。arXiv : 1502.04592 [q-fin.TR]。
• Rizoiu, Marian-Andrei; Lee, Young; Mishra, Swapnil; Xie, Lexing (2017). 「ソーシャルメディアにおけるイベントのHawkesプロセスに関するチュートリアル」。arXiv : 1708.06401 [stat.ML] 。