ハーディの不等式

ハーディの不等式は数学における不等式で、GHハーディにちなんで名付けられました。これは、が非負の実数列である場合、すべての実数p > 1 に対して、${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.}$

右辺が有限の場合、すべてのnに対してとなる場合にのみ 等式が成立します。 ${\displaystyle a_{n}=0}$

ハーディの不等式の積分版は次のように述べている。fが非負の値を持つ 測定可能な関数である場合、

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.}$

右辺が有限の場合、ほぼすべての点でf ( x ) = 0である場合にのみ 等式が成立します。

ハーディの不等式は、1920年にハーディのノートで初めて発表され、証明されました（少なくとも、より悪い定数を持つ離散バージョンは）。^[1]元の定式化は、上記とは少し異なる積分形式でした。

一般的な加重1次元バージョンは次のようになります。^{[2] ：§329}

• もし、${\displaystyle \alpha +{\tfrac {1}{p}}<1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{0}^{y}x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}1-\alpha -{\frac {1}{p}}{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx}$

• もし、${\displaystyle \alpha +{\tfrac {1}{p}}>1}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\biggl (}y^{\alpha -1}\int _{y}^{\infty }x^{-\alpha }f(x)\,dx{\biggr )}^{p}\,dy\leq {\frac {1}{{\bigl (}\alpha +{\frac {1}{p}}-1{\bigr )}^{p}}}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx.}$

多次元の場合、ハーディの不等式は-空間に拡張され、次の形をとる^[3]。${\displaystyle L^{p}}$

${\displaystyle \left\|{\frac {f}{|x|}}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq {\frac {p}{n-p}}\|\nabla f\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})},2\leq n,1\leq p<n,}$

ここで、定数は鋭いこと​​が分かっています。密度により、それはソボレフ空間に拡張されます。 ${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\frac {p}{n-p}}}$ ${\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}$

同様に、 ならば、任意の${\displaystyle p>n\geq 2}$${\displaystyle f\in C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\Big (}1-{\frac {n}{p}}{\Big )}^{p}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\vert f(x)-f(0)\vert ^{p}}{|x|^{p}}}dx\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert \nabla f\vert ^{p}.}$

が空でない凸開集合である場合、任意の に対して、 ${\displaystyle \Omega \subsetneq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f\in W^{1,p}(\Omega )}$

${\displaystyle {\Big (}1-{\frac {1}{p}}{\Big )}^{p}\int _{\Omega }{\frac {\vert f(x)\vert ^{p}}{\operatorname {dist} (x,\partial \Omega )^{p}}}\,dx\leq \int _{\Omega }\vert \nabla f\vert ^{p},}$

そして定数は改善できない。^[4]

かつ ならば、を満たす任意の に対して、となる定数が存在する^{[5] : 補題 2}${\displaystyle 1\leq p<\infty }$${\displaystyle 0<\lambda <\infty }$${\displaystyle \lambda \neq 1}$${\displaystyle C}$${\displaystyle f:(0,\infty )\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\vert f(x)\vert ^{p}/x^{\lambda }\,dx<\infty }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\vert f(x)\vert ^{p}}{x^{\lambda }}}\,dx\leq C\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {\vert f(x)-f(y)\vert ^{p}}{\vert x-y\vert ^{1+\lambda }}}\,dx\,dy.}$

変数の変更により

${\displaystyle \left(\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\ dx\right)^{1/p}=\left(\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{1}f(sx)\,ds\right)^{p}\,dx\right)^{1/p},}$

これはミンコフスキーの積分不等式より小さいか等しい。最後に、変数の別の変換により、最後の式は ${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(sx)^{p}\,dx\right)^{1/p}\,ds}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}s^{-1/p}\,ds={\frac {p}{p-1}}\left(\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$

右辺が有限であると仮定すると、 が成り立つ。したがって、任意の正の整数jに対して、 より大きい項は有限個しかない。これにより、元の数列と同じ正の項（ただし、ゼロ項は含まれない可能性がある）を含む減少数列を構築できる。すべてのnに対して、新しい数列の不等式を示すだけで十分である。これは、の場合と でない場合を定義する積分形式から直接導かれる。実際、 ${\displaystyle a_{n}\to 0}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle 2^{-j}}$${\displaystyle b_{1}\geq b_{2}\geq \dotsb }$${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\dotsb +a_{n}\leq b_{1}+b_{2}+\dotsb +b_{n}}$${\displaystyle f(x)=b_{n}}$${\displaystyle n-1<x<n}$${\displaystyle f(x)=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}^{p}}$

そして、 に対して、 ${\displaystyle n-1<x<n}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt={\frac {b_{1}+\dots +b_{n-1}+(x-n+1)b_{n}}{x}}\geq {\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}}$

（最後の不等式は に等しく、これは新しい数列が減少するので真である）そしてしたがって ${\displaystyle (n-x)(b_{1}+\dots +b_{n-1})\geq (n-1)(n-x)b_{n}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {b_{1}+\dots +b_{n}}{n}}\right)^{p}\leq \int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p}\,dx}$。

とを正の実数とする。 とする。まず不等式を証明する。 ${\displaystyle p>1}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle S_{k}=\sum _{i=1}^{k}b_{i}}$

およびを*の右辺と左辺の - 番目の項の差、つまりとします。次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle T_{n}={\frac {S_{n}}{n}}}$${\displaystyle \Delta _{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta _{n}:=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}b_{n}T_{n}^{p-1}}$

${\displaystyle \Delta _{n}=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}b_{n}T_{n}^{p-1}=T_{n}^{p}-{\frac {p}{p-1}}(nT_{n}-(n-1)T_{n-1})T_{n}^{p-1}}$

または

${\displaystyle \Delta _{n}=T_{n}^{p}\left(1-{\frac {np}{p-1}}\right)+{\frac {p(n-1)}{p-1}}T_{n-1}T_{n}^{p}.}$

ヤングの不等式によれば、次のようになります。

${\displaystyle T_{n-1}T_{n}^{p-1}\leq {\frac {T_{n-1}^{p}}{p}}+(p-1){\frac {T_{n}^{p}}{p}},}$

そこから次のことが分かります。

${\displaystyle \Delta _{n}\leq {\frac {n-1}{p-1}}T_{n-1}^{p}-{\frac {n}{p-1}}T_{n}^{p}.}$

伸縮すると次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{N}\Delta _{n}&\leq 0-{\frac {1}{p-1}}T_{1}^{p}+{\frac {1}{p-1}}T_{1}^{p}-{\frac {2}{p-1}}T_{2}^{p}+{\frac {2}{p-1}}T_{2}^{p}-{\frac {3}{p-1}}T_{3}^{p}+\dotsb +{\frac {N-1}{p-1}}T_{N-1}^{p}-{\frac {N}{p-1}}T_{N}^{p}\\&=-{\frac {N}{p-1}}T_{N}^{p}<0,\end{aligned}}}$

*を証明する。ホルダーの不等式を*の右辺に適用すると次のようになる。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\leq {\frac {p}{p-1}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {b_{n}S_{n}^{p-1}}{n^{p-1}}}\leq {\frac {p}{p-1}}\left(\sum _{n=1}^{N}b_{n}^{p}\right)^{1/p}\left(\sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\right)^{(p-1)/p}}$

そこからすぐに次のことがわかります。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\frac {S_{n}^{p}}{n^{p}}}\leq \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{N}b_{n}^{p}.}$

ハーディの不等式を得ます。 ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$

• カールマンの不等式

• ハーディ, GH; リトルウッド, JE; ポリア, G. (1952).不等式(第 2 版). ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-35880-9。

• Kufner, Alois; Persson, Lars - Erik (2003)。Hardy型の重み付き不等式。World Scientific Publishing。ISBN 981-238-195-3。

• Masmoudi、Nader (2011)、「About the Hardy Inequality」、Dierk Schleicher 所収。 Malte Lackmann (編)、数学への招待、シュプリンガー ベルリン ハイデルベルク、ISBN 978-3-642-19533-4。
• Ruzhansky, Michael; Suragan, Durvudkhan (2019)。同次群上のハーディ不等式: ハーディ不等式の100年。バーゼル・ビルクハウザー。ISBN 978-3-030-02895-4。

• 「ハーディ不等式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]