ハンナーの不等式

数学において、ハンナーの不等式はL ^p空間の理論の結果である。その証明は 1956 年にオロフ・ハンナーによって発表された。これは、1936 年にジェームズ・A・クラークソンによって提案されたアプローチよりも、 p  ∈ (1, +∞)に対するL ^p空間の一様凸性を証明するより簡単な方法を提供する。

f ,  g  ∈  L ^p ( E )とする。ここでEは任意の測度空間である。p  ∈ [1, 2]のとき、

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}+\|fg\|_{p}^{p}\geq {\big (}\|f\|_{p}+\|g\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|f\|_{p}-\|g\|_{p}{\big |}^{p}.}$

F  =  f  +  gとG  =  f  −  gを代入すると、ハンナーの不等式の2番目が得られます。

${\displaystyle 2^{p}{\big (}\|F\|_{p}^{p}+\|G\|_{p}^{p}{\big )}\geq {\big (}\|F+G\|_{p}+\|FG\|_{p}{\big )}^{p}+{\big |}\|F+G\|_{p}-\|FG\|_{p}{\big |}^{p}.}$

p ∈ [2, +∞)の場合、 不等式は逆になります（非厳密なままです）。

不等式は等式になり、どちらも平行四辺形規則になることに注意してください。 ${\displaystyle p=2}$

• クラークソン、ジェームズ A. ( 1936)。「一様凸空間」。アメリカ数学会誌40 (3 ) 。アメリカ数学会: 396–414。doi : 10.2307/1989630。JSTOR  1989630 。 MR1501880​
• Hanner, Olof (1956). 「Lpとℓpの一様凸性について」Ark. Mat . 3 (3): 239–244. doi : 10.1007/BF02589410 . MR0077087​