ガットマンスケール

属性に関して被験者を評価するために設計された多変量観察の分析において、ガットマン尺度（ルイス・ガットマンにちなんで名付けられた）は、属性を評価するための単一（一次元）の順序尺度であり、この尺度から元の観察を再現することができます。データ内でガットマン尺度が発見されるかどうかは、多変量分布が特定の構造（下記参照）に適合しているかどうかによって決まります。したがって、ガットマン尺度は、指定された属性と指定された母集団に関して定式化されたデータの構造に関する仮説であり、任意の観察セットに対して構築することはできません。一般に信じられていることとは異なり、ガットマン尺度は二値変数に限定されず、必ずしも変数間の順序を決定するものではありません。しかし、変数がすべて二値である場合、例 1 に示すように、変数は評価対象の属性を記録する際の感度によって順序付けられます。

例1: 二値変数

適切な集団に提示された「移民との社会的接触の受容」という属性（ボガーダスの社会的距離尺度に基づく）に関する次の 5 つの質問に対して、ガットマン尺度が仮定される可能性があります。

1. あなたの国では移民を住民として受け入れますか? (いいえ=0、はい=1)
2. あなたの町では移民を住民として受け入れますか? (いいえ=0、はい=1)
3. あなたの近所に移民を住人として受け入れますか? (いいえ=0、はい=1)
4. 移民を隣人として受け入れますか? (いいえ=0、はい=1)
5. あなたは移民を子供の配偶者として受け入れますか? (いいえ=0、はい=1)

このリストのいずれかの質問に対して特定の回答者が肯定的な回答をした場合、その回答者はこのリストの先行するすべての質問に対して肯定的な回答をしたことになります。したがって、表 1 の網掛け部分 (列 1 ～ 5) に記載されている回答のみが得られることが予想されます。

表 1 の網掛け部分の各行 (列 1 ～ 5) は、任意の数 (≥ 0) の回答者の回答プロファイルです。この表の各プロファイルは、前のプロファイルで示されたすべての意味での移民の受容に加えて、移民が受け入れられる追加の意味を示しています。多数の観察で、表 1 にリストされているプロファイルのみが観察された場合、ガットマン スケール仮説がサポートされ、スケールの値 (表 1 の最後の列) には次の特性があります。

1. 彼らは「移民との社会的接触の受容」という属性の強さを評価します。
2. これらは元の観察結果を再現します。(たとえば、回答者のスケール スコアが 2 の場合、その回答者は質問 1 と 2 に肯定的に回答し、質問 3、4、5 に否定的に回答したことを意味します。)

ガットマン尺度は、データによって裏付けられている場合、指定された属性に関して 1 次元尺度で対象者 (回答者、被験者、または調査対象の任意の集合) を効率的に評価するのに役立ちます。通常、ガットマン尺度は、厳密に定義された属性に関して使用されます。

他の尺度作成技術 (例:リッカート尺度) では、回答者のスコアを合計して単一の尺度を作成しますが (多くの場合、根拠もなく、すべての観測変数に等しい重みがあると仮定する手順)、ガットマン尺度では観測変数に重み付けを行わないため、データをあるがままに「尊重」します。ガットマン尺度が確認されると、属性の測定は本質的に1 次元になります。つまり、合計や平均化によって 1 次元性が強制されることはありません。この特徴により、ファセット理論で説明されているように、再現可能な科学理論や意味のある測定を構築するのに適しています。 

N人の被験者をn個の順序変数に関して観察したデータセットがあり、各順序変数には、事前に指定された属性の強さの順に並べられた任意の有限数 (≥2) の数値カテゴリがあります。a ij_を被験者iが変数jで得たスコアとし、被験者i がn個の変数で得たスコアのリストa _i =a _i1 ...a _{in を被験者}iのプロファイルと定義します(カテゴリの数は変数によって異なる場合があります。プロファイル内の変数の順序は重要ではありませんが、固定されている必要があります)。

定義する：

2つのプロファイル a _sと a _{t は}等しく、 a _s =a _tと表記され、すべてのj =1... nに対してa _sj =a _{tj が成立する場合に限ります。}

プロファイルa _sは、すべてのj =1... nに対してa _sj ≥ a _tjであり、少なくとも 1 つの変数j'に対してa _sj' > a _tj'である場合に限り、プロファイルa _tより大きくなり、a s >a t と_表記されます。

プロファイルa _sとa _{t は}、 a _s = a _t、またはa _s > a _t、またはa _t > a _sの場合に限り、 _s Sa _tと表記され、比較可能です。

プロファイルa _sとa _{t は}、比較できない場合 (つまり、少なくとも 1 つの変数 j' について、 a sj' > a tj' であり、_{少なくとも}もう1つ_の変数_{j '} 'について、a _tj'' > a _{sj ''}である場合)、比較不可能であり、 s $a t と表記されます。

すべての変数のカテゴリが特定の属性に関して同様に数値順（高から低、または低から高）に並べられているデータ セットの場合、Guttman スケールは次のように定義されます。

定義: Guttman スケールは、すべてのプロファイル ペアが比較可能なデータ セットです。

生徒集団 P の算数スキルを評価する次の 4 つの変数について考えてみましょう。

V1: 生徒 (p) は数字の加算ができますか? いいえ = 1、はい、ただし 2 桁の数字のみ = 2、はい = 3。

V2: 生徒(p)は(1-10)の掛け算表を知っていますか?いいえ=1、はい=2。

V3: 生徒 (p) は数字の掛け算ができますか? いいえ = 1、はい、ただし 2 桁の数字のみ = 2、はい = 3。

V4: 生徒(p)は長割り算ができますか? いいえ=1、はい=2。

学童集団から上記の 4 つの変数について収集されたデータは、以下の表 2 に示す Guttman スケールを示すと仮定できます。

表2. 4つの順序付き算数スキル変数のデータは、ガットマン尺度を形成すると仮定されている

発生すると仮定されたプロファイルのセット (表 2 の網掛け部分) は、Guttman スケールの定義的な特徴、つまり、プロファイルのどのペアも比較可能であることを示しています。ここでも、仮説が確認されれば、単一のスケール スコアで、観察されたすべての変数における被験者の反応を再現できます。

任意の順序付けられた数字のセットはスケールとして使用できます。この図では、プロファイル スコアの合計を選択しました。ファセット理論によると、このような合計は Guttman スケールに準拠するデータでのみ正当化されます。

実際には、完全な（「決定論的」な）ガットマン尺度はまれですが、宗教的慣習、狭く定義された知識領域、特定のスキル、家庭用電化製品の所有などの属性に関して、特定の集団で近似した尺度が見つかっています。^[1]データがガットマン尺度に準拠していない場合、ノイズのあるガットマン尺度（確率論的に処理された^[1]）を表しているか、または、固有の尺度を識別するために複数のスケーリングを必要とするより複雑な構造を持っている可能性があります。

データセットがガットマン尺度にどの程度適合しているかは、再現性係数^{[2] [3]}から推定できます。再現性係数には、統計的仮定と制限に応じていくつかのバージョンがあります。ガットマンの再現性係数の元の定義である C _{R は}、データセット内のエントリ数に対するエラー数の比率を 1 から引いたものです。また、回答に幅があることを保証するために (すべての回答者が 1 つの項目のみを支持した場合はそうではありません)、スケーラビリティ係数が使用されます。^[4]

ガットマン尺度法には、古典的なテスト理論とは対照的に、質問票の項目がすべて同じ難易度ではないことを認める項目反応理論の始まりが見られます。モッケン尺度やラッシュモデルなどの非決定論的（つまり、確率論的）モデルが開発されました。ガットマン尺度は、十分な再現性に必要な尺度の最小数を特定する「多重尺度法」の理論と手順に一般化されました。

ガットマン尺度は、データの実質的な内容と論理的な側面を結び付ける手順として、ルイス・ガットマンとその同僚によって開発されたファセット理論の到来を告げるものでした。

ガットマン^[3]による尺度のオリジナルの定義では、質的変数（名目変数、または必ずしも事前に指定された共通属性に属さない順序変数）の探索的尺度分析も可能となっている。ガットマン尺度のこの定義は、単純な関数の以前の定義に依存している。

全順序集合X（たとえば 1,2,..., m）と、k個の要素k ≤ mを持つ別の有限集合Yについて、 XがYの値と 1 対 1 に対応するk個の区間に分割できる場合、XからYへの関数は単純関数です。

ガットマン尺度は、 n個の変数のデータ セットに対して定義され、j^番目の変数にはk _{j 個}の(質的、必ずしも順序付けられていない) カテゴリが存在します。

定義:ガットマン尺度は、順序変数Xと、有限数m個のカテゴリ (たとえば、 1,..., m 、ただしm ≥ max _j ( k _j ))と、データセット内の各変数がXの単純な関数となるような被験者のプロファイルの順列が存在するデータセットです。

一見すると優雅で探索的な研究には魅力的であるにもかかわらず、この定義は十分に研究も適用もされていません。

1. Coombs, CH, Coombs, LC, & Lingoes, JC (1978)。「確率的累積尺度」。S. Shye (編)、行動科学における理論構築とデータ分析。サンフランシスコ: Jossey-Bass。
2. Goodman, LA (1975)。「応答パターンをスケーリングするための新しいモデル: 準独立概念の応用」アメリカ統計学会誌、70、755-768。
3. Guttman, L. (1944). 「質的データのスケーリングの基礎」American Sociological Review、9、139-150。
4. Green, BF (1956). 「要約統計量を用いたスカログラム分析法」Psychometrika , 21, 79–88.