グリーンバーグ・ヘイスティングスセルオートマトン

グリーンバーグ・ヘイスティングス・セルオートマトン（略称GHモデル）は、ジェームズ・M・グリーンバーグとスチュアート・ヘイスティングスにちなんで名付けられた3状態2次元セルオートマトン（略称CA ）であり、^[1]興奮性媒体をモデル化するために設計されました。 ^[2] CAモデルの利点の1つは、計算が簡単なことです。このモデルは、コンピュータを必要とせず、単純な「手」計算で十分に理解できます。^[2]もう1つの利点は、少なくともこの場合、反復動作につながる初期条件を特徴付ける定理を証明できることです。^[3]

典型的な2次元セルオートマトン^[1]と同様に、長方形のグリッド、またはチェッカーボードパターンの「セル」を考えてみましょう。その範囲は有限または無限です。各セルには「隣接セル」のセットがあります。最も単純なケースでは、各セルには4つの隣接セルがあり、それらは特定のセルの真上、真下、または真左、または真右のセルです。^[2]

次のようになります: b はすべて a の隣接要素です。a は各 b の隣接要素の 1 つです。

                                                  b
                                                バブ
                                                  b

各「時間」t=0,1,2,3,....において、各細胞には3つの「状態」のうちの1つが割り当てられます。通常、これらの状態は「休止状態」（または「静止状態」、興奮性媒体を参照）、「興奮状態」、または「不応状態」と呼ばれます。^[2] t = 0の場合、すべての細胞の状態の割り当ては任意ですが、それ以降の時点では、各細胞の状態は次の規則によって決定されます。^[2]

1. 細胞が時刻 t で興奮状態にある場合、時刻 t+1 では不応状態になります。

2. 細胞が時刻 t で不応状態にある場合、時刻 t+1 では休止状態になります。

3. 特定のセルが時刻 t で休止状態にあり、その隣接セルの少なくとも 1 つが時刻 t で興奮状態にある場合、その特定のセルは時刻 t+1 で興奮状態にあります。それ以外の場合 (時刻 t で隣接セルが興奮していない場合)、そのセルは時刻 t+1 で休止状態のままです。

このようにして、セルのグリッド全体が t = 0 の初期状態から t = 1 の状態、さらに t = 2、3、4 の状態へと進み、各時点でさまざまな状態のセルのパターンが生成されます。

このモデルで示される可能性のある動作の顕著な例については、 ベロウソフ・ジャボチンスキー反応の最初のアニメーションを参照してください。3 つの状態は異なる色で示されます。

GHモデルをより数学的に記述するために、最も単純な正方形のセル のグリッドの場合を考えてみましょう。各時点で セルは状態を持ちます 。各セルに隣接するセルがある限り、近傍の種類は重要ではありません。正方形のグリッド（六角形ではなく）では、4セル近傍または8セル近傍のどちらでも問題ありません。進化のルールは次のとおりです。の場合。 の場合 の場合 であり、隣接するセルが の場合です。 それ以外の場合は、^{[1] [2]}${\displaystyle C_{i,j}}$ ${\displaystyle t=0,1,2,...}$${\displaystyle C_{i,j}}$${\displaystyle S_{i,j}^{t}\in \{0,1,2\}.}$${\displaystyle S_{i,j}^{t}=1}$${\displaystyle S_{i,j}^{t+1}=2}$${\displaystyle S_{i,j}^{t}=2}$${\displaystyle S_{i,j}^{t+1}=0.}$${\displaystyle S_{i,j}^{t}=0}$${\displaystyle S_{i',j'}^{t}=1}$${\displaystyle C_{i',j'},}$${\displaystyle S_{i,j}^{t+1}=1}$${\displaystyle S_{i,j}^{t+1}=0.}$

GH モデルは、同じ目的で以前に開発された Wiener と Rosenblueth の画期的なモデル^[4]とよく比較されますが、後者は CA ではないため、この類似性は正しくありません。たとえば、^[5]では、「筋細胞の組織化、筋肉の収縮、媒体の活動の構成要素の活動への依存性、記憶、信頼性、および可動性の問題は、3 相の閾値不変の連続興奮性媒体の定義と定理の形で Wiener によって定式化されました」と述べられています。ただし、この記述でさえ誤解を招きます。元の論文^[4]を注意深く読むと、時間、媒体、状態のいずれも離散的ではないことがわかります。時間と媒体に関しては、これはすぐに明らかです。ただし、Wiener と Rosenblueth は、「繊維の任意の領域が存在できる条件は 3 つある」と述べています。彼らは、これらを「活性」、「不応性」、「休止」状態と名付けています。しかし、次の段落では、静止状態を番号 1、活動状態を番号 0、不応状態を実数直線上の開区間 (0,1) で識別することで、これを洗練しています。特定の時点の特定のポイントに割り当てられた番号は、その時点の「エポック番号」と呼ばれます。したがって、「状態空間」は区間 [0,1] です。次の段落では、「...自由に移動するすべての波頭の背後には、回復プロセスが行われている固定幅の帯があります。」とあります。したがって、波は「前面」、つまり、一定の速度で平面内を移動するエポック番号 0 のポイントの滑らかな曲線で構成され、その後に、一定幅 (速度によって異なります) のエポック番号 (0,1) のポイントの不応領域が続き、エポック番号 1 のポイントの静止領域が残ります。これはセルラー オートマトンとはほど遠く、より正確には「幾何学的」モデルと呼ばれます。

^さらに[5]では次のように述べられている。

「興奮性媒体のオートマトンモデルは、[9]と[10]で研究されました。これらのモデルはウィーナーの媒体の離散的な類似物です。」 (引用文献「[9]」と「[10]」のモデルはGHとは異なります。)

多くの著者がウィーナー・ローゼンブルースモデルをセルオートマトンと呼んでいます。Google Scholarで見つかった、この呼称が明確に述べられている最も古い論文は^[6]です。 しかし、上で述べたように、ウィーナー・ローゼンブルース媒体の連続性は、以下に説明するGHの定理ほど正確なパターンの持続性に関する定理を今のところ可能にしていません。一方、^[4]には[3]で証明されたものと類似した定理がいくつか述べられていますが、^[4]の定理の証明は、それぞれのモデルの性質上、 ^[3]の定理ほど明確ではありません。

WienerとRosenbluethのモデルに類似したモデルに基づく、よく引用されるコンピューター研究については ^[7]も参照のこと。

興味深い挙動は、4 つのセル近傍と正方形のグリッドで、初期条件が半直線の興奮したセル (1) が無限に伸び、この半直線の下に半直線の不応性セル (2) がある場合に見られます。残りのセルは t=0 のときに休止しています。^[2]

このような：

................................................................... ...................
....0000000000000000000000000000000000000000000000000000000....
....0000000000000000000000000000000000000000000000000000000....
....0000000000000000000111111111111111111111111111111111111111....
....0000000000000000000222222222222222222222222222222222222222....
....0000000000000000000000000000000000000000000000000000000....
....0000000000000000000000000000000000000000000000000000000....
................................................................... ...................

^{生成された螺旋は[2]}で見ることができます。 この螺旋は、パターンを数回繰り返して「手作業」で追跡することで簡単に見ることができます。コンピュータは必要ありません。

^[2]で述べられ、 ^[3] （n状態モデルも考慮）で証明されているように、初期の1の集合が有限であれば、開始時に少なくとも1つの4つの隣接セルが以下のパターンのいずれかである場合にのみ、すべての個々のセルは0、1、2、0のサイクルを通して永久に振動します。

                    1 2 2 0 0 1
                    0 0 1 1 2 2

または、これらのうちの 1 つを反射または回転したもの。これらのパターンは、周囲によって消滅することはありません。この結果の「ただし」の部分が、最も興味深いところです。t = 0 でこれらのパターンがまったく存在しない場合、どの境界領域でも、パターンは最終的にすべてゼロに落ち着きます。^{[2] [3]} の証明の重要なツールは 、このモデルでは不変であることが示された「巻き数」です。

上記の定理から簡単に得られる結論の 1 つは、最初に「不応性」細胞が存在しない場合は、パターンは境界のある領域 (グリッド全体の範囲が有限か無限かに関係なく) で消滅するということです。この興奮性媒体の特性は、以前に Wiener と Rosenblueth の論文^[4]で発見されており、領域に「穴」がある場合は当てはまりません。

• http://psoup.math.wisc.edu/java/jgh.html
• http://demonstration.wolfram.com/GreenbergHastingsModel/