ゴドゥノフの定理

数値解析および計算流体力学において、ゴドゥノフの定理（ゴドゥノフの順序障壁定理とも呼ばれる）は、偏微分方程式の数値解法の高解像度スキームの理論の発展において重要な数学定理です。

この定理は、次のことを述べています。

セルゲイ・ゴドゥノフ教授は、モスクワ国立大学の博士課程の学生としてこの定理を最初に証明しました。これは応用数学と数値数学の分野における彼の最も影響力のある研究であり、特に数値流体力学(CFD) やその他の計算分野で使用される方法の開発において、科学と工学に大きな影響を与えました。彼の主要な貢献の 1 つは、彼の名前を冠した定理 (ゴドゥノフ、1954 年、ゴドゥノフ、1959 年) を証明したことです。

私たちは一般的にWesseling (2001)に従います。

余談

PDEで記述される連続体の問題を、一様計算グリッドと、1ステップ、一定ステップサイズ、Mグリッドポイント、暗黙的または明示的な積分アルゴリズムに基づく数値スキームを使用して計算すると仮定します。そして、の場合、そのようなスキームは次のように記述できます 。${\displaystyle x_{j}=j\,\Delta x}$${\displaystyle t^{n}=n\,\Delta t}$

言い換えれば、時刻と場所における解は、前の時刻ステップにおける解の線形関数です。 は一意に決まると仮定します。 さて、上記の式は と の間に線形関係を表しているので、線形変換を実行して次の同等の形式を得ることができます。 ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle j}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \beta_{m}}$${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$${\displaystyle \varphi _{j}^{n}}$${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$

定理1: 単調性の保存

上記の式（２）のスキームは、次の条件を満たす場合にのみ単調性を保つ。

証明- ゴドゥノフ (1959)

ケース1: (十分な条件)

(3) が適用され、 がとともに単調に増加すると仮定します。 ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}}$${\displaystyle j}$

すると、したがって、 ${\displaystyle \varphi _{j}^{n}\leq \varphi _{j+1}^{n}\leq \cdots \leq \varphi _{j+m}^{n}}$${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}\leq \varphi _{j+1}^{n+1}\leq \cdots \leq \varphi _{j+m}^{n+1}}$

つまり、このケースでは単調性が維持されます。

ケース2: (必要条件)

必要条件は背理法で証明する。ある と に対して、次の単調増加 を選択すると仮定する。 ${\displaystyle \gamma _{p}^{}<0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi _{j}^{n}\,}$

すると式（２）から次の式が得られる。

を選択して、与える ${\displaystyle j=kp}$

これは が増加しないことを意味し、矛盾が生じます。したがって、に対して単調性は維持されず、これで証明が完了します。 ${\displaystyle \varphi _{j}^{n+1}}$${\displaystyle \gamma _{p}$

定理 2: ゴドゥノフの順序障壁定理

対流方程式の線形1ステップ2次精度数値スキーム

単調性を保つことはできない

ここで、は符号付きクーラン・フリードリヒス・レヴィ条件(CFL) 数です。 ${\displaystyle \sigma}$

証明- ゴドゥノフ (1959)

式（２）で表される形式の数値スキームを仮定し、

正確な解決策は

この方式が少なくとも2次精度であると仮定すると、次の解が正確に得られるはずである。

式（2）に代入すると次のようになる。

この方式が単調性を保つと仮定すると、上記の定理 1 によれば、次のようになります。 ${\displaystyle \gamma _{m}\geq 0}$

さて、式（１５）から明らかなように、

を仮定し、となるように選択します。これは、および となることを意味します。 ${\displaystyle \sigma >0,\quad \sigma \notin \mathbb {N} }$${\displaystyle j}$${\displaystyle j>\sigma >\left(j-1\right)}$${\displaystyle \left({j-\sigma }\right)>0}$${\displaystyle \left({j-\sigma -1}\right)<0}$

したがって、

これは式(16)と矛盾し、証明を完了する。

例外的な状況は、可変係数では実現できないため、理論的な関心事にすぎません。また、1 より大きい整数CFL数は、実際の問題では実現不可能です。 ${\displaystyle \sigma =\left|c\right|{{\Delta t} \over {\Delta x}}\in \mathbb {N} }$

• 有限体積法
• フラックスリミッター
• 総変動は減少している

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