グレイシャーの定理

数論において、グレイシャーの定理は整数分割の研究に役立つ恒等式である。1883年^[1]にジェームズ・ウィットブレッド・リー・グレイシャーによって証明されたこの定理は、整数を で割り切れない部分に分割する回数は、どの部分も 以上に繰り返されない分割回数に等しいことを述べている。これは、1748年にレオンハルト・オイラーによって の場合に確立された結果を一般化したものである。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d=2}$

これは、整数を で割り切れない部分に分割する数は、どの部分もd回以上繰り返されない分割の数に等しく、これはおよびの形式の分割として正式に記述できることを示しています。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle d}$${\displaystyle n=\lambda _{1}+\cdots +\lambda _{k}}$${\displaystyle \lambda _{i}\geq \lambda _{i+1}}$${\displaystyle \lambda _{i}\geq \lambda _{i+d-1}+1}$

これがオイラーの定理として知られる特殊なケースになると、 を異なる部分に分割する数はを奇数部分に 分割する数に等しくなります。${\displaystyle d=2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

次の例では、パーティションの多重度表記を使用します。たとえば、パーティション 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 3 の表記法です。 ${\displaystyle 1^{4}2^{1}3^{2}}$

7 という数字の 15 個の分割のうち、奇数部分のみ(つまり、奇数のみ) を含む分割が 5 つあります (太字で示すとおり)。

${\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},\mathbf {5^{1}1^{2}} ,4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},\mathbf {3^{2}1^{1}} ,3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},\mathbf {3^{1}1^{4}} ,2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}} }$

ここで、7 を異なる部分（つまり、数字が重複していない部分）で区切った部分を数えると、5 になります。

${\displaystyle \mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},\mathbf {4^{1}3^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}1^{1}} ,4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

最初と 2 番目のケースの太字のパーティションは同じではなく、その番号が同じである理由は明らかではありません。

6 という数字の 11 個の分割のうち、3 で割り切れない部分だけを含む分割は、以下に太字で示すように 7 つあります。

${\displaystyle 6,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,3^{2},3^{1}2^{1}1^{1},3^{1}1^{3},\mathbf {2^{3}} ,\mathbf {2^{2}1^{2}} ,\mathbf {2^{1}1^{4}} ,\mathbf {1^{6}} }$

また、6 の分割のうち 2 回以上繰り返される部分がないものを数えると、7 になります。 ${\displaystyle \mathbf {6} ,\mathbf {5^{1}1^{1}} ,\mathbf {4^{1}2^{1}} ,\mathbf {4^{1}1^{2}} ,\mathbf {3^{2}} ,\mathbf {3^{1}2^{1}1^{1}} ,3^{1}1^{3},2^{3},\mathbf {2^{2}1^{2}} ,2^{1}1^{4},1^{6}}$

定理の証明は、生成関数を使って得ることができます。d で割り切れる部分を持たない分割の数と、d-1 回以上繰り返される部分を持たない分割の数に注目すると、定理はすべてのn に対して が成り立つことを意味します。通常の生成関数の一意性は、すべての n に対して が成り立つことを証明する代わりに、 と の生成関数が等しいこと、つまりが成り立つことを証明すれば十分であることを意味します。 ${\displaystyle p_{d}(n)}$${\displaystyle q_{d}(n)}$${\displaystyle p_{d}(n)=q_{d}(n)}$${\displaystyle p_{d}(n)=q_{d}(n)}$${\displaystyle p_{d}(n)}$${\displaystyle q_{d}(n)}$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}}$

各生成関数は、無限積として書き直すことができます（分割関数の無限積と同様の方法を使用）。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1,d\nmid n}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{n}}}}$(つまり、 nがdで割り切れない項の積)。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q_{d}(n)x^{n}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}}$

無限積を について展開すると、 ${\displaystyle q_{d}(n)}$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{dn}}{1-x^{n}}}={\frac {1-x^{d}}{1-x}}{\frac {1-x^{2d}}{1-x^{2}}}\dots {\frac {1-x^{kd}}{1-x^{k}}}\dots }$

分子の各項は、分母のdの対応する倍数と打ち消されることがわかります。分子の項をすべて打ち消した後に残るのは、 の無限積とまったく同じです。 ${\displaystyle p_{d}(n)}$

したがって、との生成関数は等しくなります。 ${\displaystyle p_{d}(n)}$${\displaystyle q_{d}(n)}$

異なる部分を持つ分割の数を数える代わりに、少なくとも 2 異なる部分を持つ分割の数を数えると、さらに一般化できます。これは、 1894 年にレナード ジェームズ ロジャースによって最初に発見され、その後、1913年にラマヌジャン、1917 年にシュアによって独立に発見され、現在ではロジャース - ラマヌジャン恒等式として知られています。これは次のことを述べています。

1) 部分が少なくとも 2 異なる分割の数は、1 または 4 (mod 5) と一致する数のみを含む分割の数に等しくなります。

2) 部分の差が 2 以上で、最小部分が 2 以上である分割の数は、2 または 3 (mod 5) と合同な数のみを含む分割の数に等しい。

たとえば、以下に太字で示すように、7 を少なくとも 2 ずつ異なる部分に分割するパーティションは 3 つしかありません (注: パーティション内で数字が繰り返される場合は、2 つの部分の差が 0 であることを意味するため、パーティションはカウントされません)。

${\displaystyle \mathbf {7} ,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

また、7 のうち、部分 1、4、6 のみを含むパーティションは 3 つだけです。

${\displaystyle 7,\mathbf {6^{1}1^{1}} ,5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},\mathbf {4^{1}1^{3}} ,3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},\mathbf {1^{7}} }$

ロジャース-ラマヌジャン恒等式の 2 番目のステートメントの例として、最小部分が少なくとも 2 であるというさらなる制限を伴う 7 の分割を考えます。その最小部分は 2 つだけあり、以下に太字で示します。

${\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},\mathbf {5^{1}2^{1}} ,5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},3^{1}2^{2},3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

また、2、3、7 の部分のみを含む 7 の分割は 2 つだけです。

${\displaystyle \mathbf {7} ,6^{1}1^{1},5^{1}2^{1},5^{1}1^{2},4^{1}3^{1},4^{1}2^{1}1^{1},4^{1}1^{3},3^{2}1^{1},\mathbf {3^{1}2^{2}} ,3^{1}2^{1}1^{2},3^{1}1^{4},2^{3}1^{1},2^{2}1^{3},2^{1}1^{5},1^{7}}$

• DH Lehmer (1946). 「分割に関する2つの非存在定理」. Bull. Amer. Math. Soc. 52 (6): 538–544. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08605-X .