数論 におけるベルヌーイ数 に関するアゴ・ギウガ予想 B k {\displaystyle B_{k}} p {\displaystyle p} が素数 であるのは、
p B p − 1 ≡ − 1 （ モジュール p ） 。 {\displaystyle pB_{p-1}\equiv -1\!{\pmod {p}}.} 安郷隆氏 とジュゼッペ・ジューガ氏 にちなんで名付けられました。
状態 この記述は、ある数がn {\displaystyle n} n {\displaystyle n} 合成数 である場合、式は成り立ちません。合成数がn {\displaystyle n} カーマイケル数 とジューガ数の 両方である場合のみであり、そのような数が存在する場合は、少なくとも 13,800 桁を持つ。 2001 年に、ソリーニは、反例の可能性のある数は 10 36067 より大きい必要があることを示した。これは、ジューガが自身の予想に対して指定した証明手法についてベドッキが提案した限界を表している。
アゴ・ギウガ予想は、ウィルソンの定理 と類似点があり、ウィルソンの定理は正しいことが証明されている。ウィルソンの定理は、ある数がp {\displaystyle p}
（ p − 1 ） ! ≡ − 1 （ モジュール p ） 、 {\displaystyle (p-1)!\equiv -1\!{\pmod {p}},} これは次のように書くこともできます。
∏ 私 = 1 p − 1 私 ≡ − 1 （ モジュール p ） 。 {\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i\equiv -1\!{\pmod {p}}.} 奇数の素数p {\displaystyle p}
∏ 私 = 1 p − 1 私 p − 1 ≡ （ − 1 ） p − 1 ≡ 1 （ モジュール p ） 、 {\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1\!{\pmod {p}},} そしてp = 2 {\displaystyle p=2}
∏ 私 = 1 p − 1 私 p − 1 ≡ （ − 1 ） p − 1 ≡ 1 （ モジュール p ） 。 {\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv (-1)^{p-1}\equiv 1\!{\pmod {p}}.} つまり、アゴ・ギウガ予想の真偽とウィルソンの定理を組み合わせると、次の数値が得られる。p {\displaystyle p}
∑ 私 = 1 p − 1 私 p − 1 ≡ − 1 （ モジュール p ） {\displaystyle \sum _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv -1\!{\pmod {p}}} そして
∏ 私 = 1 p − 1 私 p − 1 ≡ 1 （ モジュール p ） 。 {\displaystyle \prod _{i=1}^{p-1}i^{p-1}\equiv 1\!{\pmod {p}}.}
参考文献 ギウガ、ジュゼッペ (1951)。 「私たちは第一の権利を持っています」。Istituto Lombardo di Scienze e Lettere、Rendiconti、Classe di Scienze Matematiche e Naturali (イタリア語)。14 (83): 511–518 . ISSN 0375-9164。Zbl 0045.01801。 アゴウ・タカシ（1995）。 「ギウガの推測について」マセマティカ写本 。87 (4): 501–510 .土井 : 10.1007/bf02570490。Zbl 0845.11004。 ソリーニ、レルテ (2001)。 "Un metodo euristico per la soluzione della congettura di Giuga"。Quaderni di Economia、Matematica e Statistica、DESP、Università di Urbino Carlo Bo (イタリア語)。68 ．ISSN 1720-9668。
