ギルブレスの推測

ギルブレスの予想は、連続する素数に前方差分演算子を適用し、結果を符号なしのままにして、結果として得られる数列の連続する項に対してこのプロセスを繰り返し、以下同様に繰り返すことによって生成される数列に関する数論の予想です。この命題は、1958年にナプキンで計算をしているときに偶然このパターンに気付き、数学界に発表したノーマン・L・ギルブレスにちなんで名付けられました。 [ 1 ]ギルブレス^の発見の80年前の1878年に、フランソワ・プロスが同じ観察を発表していました。^{[ 1 ] [ 2 ]}

素数について考えてみましょう

${\displaystyle 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,\dots }$

項間の差の絶対値を計算する${\displaystyle n}$および期間${\displaystyle n+1}$このシーケンスでは、次のシーケンスが得られます。

${\displaystyle 1,2,2,4,2,4,2,4,6,2,\dots }$

この新しい数列の項と、このプロセスの結果である数列に対して同じ計算を行い、さらにそのような計算の出力である各数列に対して無限に繰り返すと、このリストの次の 5 つの数列は次のようになります。

${\displaystyle 1,0,2,2,2,2,2,2,4,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,0,2,\dots }$

${\displaystyle 1,2,0,0,2,\dots }$

ギルブレス、そして彼以前のフランソワ・プロスが気づいたのは、各差分系列の最初の項が1であるように見えるということである。

正式には、${\displaystyle (p_{n})}$素数列を表す。${\displaystyle (d_{n}^{k})}$再帰的に

${\displaystyle d_{n}^{k}={\begin{cases}p_{n+1}-p_{n},&k=1\\[5pt]|d_{n+1}^{k-1}-d_{n}^{k-1}|,&k\geq 1.\end{cases}}}$

ギルブレスの推測によれば、$d_{1}^{k}=1$すべての人々のために${\displaystyle k\geq 1}$。

複数の情報源によると、フランソワ・プロスはギルブレスの予想のパターンを観察しただけでなく、後に誤りであることが判明したその主張の証明だと信じていたものを発表したという。^{[ 1 ]}しかし、ザカリー・チェイスはこれに異議を唱え、プロスは観察を「定理」と呼んだものの、彼がその証明、あるいは誤った証明を発表したという証拠はないと述べている。^{[ 2 ]}

1993年、アンドリュー・オドリツコは、$d_1^k$1 に等しい$${\displaystyle k\leq n=3.4\times 10^{11}.}$$^{[ 3 ]}評価する代わりに${\displaystyle n}$オドリツコは635行を評価し、635行目が1で始まり、次の行は0と2のみで続くことを確認した。${\displaystyle n}$数字。これは次の${\displaystyle n}$行は1から始まります。

2025年、サイモン・プルーフは10 ¹⁴までの素数の計算による検証を発表した。^{[ 4 ]}同年、ジャン＝フランソワ・コロンナは2 × 10 ¹⁴まで検証し、^{[ 5 ]} 2026年には1.5 × 10 ¹⁵まで検証した。^{[ 6 ]}この予想は未解決問題のままである。

1980 年、マーティン・ガードナーは、ギルブレスの予想の性質 (各差分列の最初の項が 1 であること) は、2 で始まり、その後奇数のみを含み、連続する要素間のギャップの下限が十分に低いすべての列に対してより一般的に成り立つはずだという、ハラード・クロフトの予想を発表しました。 ^{[ 7 ]}この予想は、後の著者によっても繰り返されました。^{[ 8 ] [ 9 ]}しかし、これは誤りです。2 と奇数のすべての初期部分列と、すべての非一定の成長率に対して、ギャップが成長率に従うが、差分列が 1 で始まらない奇数による部分列の継続が無限に存在します。^{[ 10 ]}

オドリツコ（1993）はより慎重で、ギルブレスの予想を信じるに足る経験的な理由として、「上記の議論は、最初の要素が1で、他の要素が偶数であり、連続する要素間の間隔が大きすぎず、十分にランダムである他の多くの数列にも適用される」と述べている。^{[ 3 ] [ 11 ]}しかし、彼は「十分にランダム」の意味を正式に定義していない。チェイス（2024）は、2と3（素数など）で始まり、その後連続する要素間に間隔がある数列について、この予想の類似例を証明している。${\displaystyle a_{i}-a_{i-1}}$区間内の偶数から一様にランダムに抽出される${\displaystyle [0,f(i)]}$関数の場合${\displaystyle f}$十分にゆっくりと成長する（素数間のギャップよりもかなりゆっくりと成長する）。^{[ 2 ]}

• 差分演算子
• プライムギャップ
• ルール90は、行のうち値0と2のみを含む部分の動作を制御するセルオートマトンである。

• ギルブレス予想、フアン・アリアス・デ・レイナ、セビリア大学マテマティカス研究所のブログ