属理論

ゲームの数学的理論において、公平ゲームにおける類理論は、ミゼール・プレイ慣習の下でプレイされるいくつかのゲームを分析し、ゲームの結果クラスを予測できる理論です。

属理論は、最初に『On Numbers and Games』という本で発表され、その後『Winning Ways for your Mathematical Plays Volume 2』で発表されました。

通常プレイ公平ゲームに対するSprague-Grundy 理論とは異なり、類理論はミゼールプレイ公平ゲームに対する完全な理論ではありません。

ゲームの属は、ゲームのオプションの mex (最小除外値) を使用して定義されます。

g+ は、通常のプレイ規約におけるゲームの 基本的な値または数値です。

g- またはλ _{0 は、}ミゼールプレイ規約に基づくゲームの結果クラスです。

より具体的には、g+ を見つけるために、*0 は g+ = 0 になるように定義され、他のすべてのゲームでは g+ はそのオプションの mex に等しくなります。

g−を見つけるには、*0ではg− = 1であり、他のすべてのゲームではg−はそのオプションのg−のmexに等しくなります。

λ ₁、λ ₂ ...は、*2 nimゲームの数に追加されたゲームのg−値に等しく、その数は下付き文字に等しくなります。

したがって、ゲームの種数は g ^{λ ₀ λ ₁ λ ₂ ...}です。

*0 の種数値は 0 ¹²⁰です。上付き文字は無限に続きますが、実際には上付き文字は有限の桁数で書かれます。なぜなら、最終的には最後の 2 桁が無限に交互になることが証明できるからです...

以下の結果を予測するために使用できます。

• あらゆる数字とあらゆる飼いならされたゲームの合計
• 種族が与えられた任意の1つのゲーム、任意の数のニムゲーム*1、*2、または*3、およびオプションで数4以上の他の1つのニムゲームの合計
• レスティブゲームと任意の数の任意のサイズのニムゲームの合計

さらに、落ち着きのないペアや落ち着きのないペアは、同等であれば、穏やかなゲームを形成することができます。2 つのゲームが同じオプションを持つ場合、それらのゲームは同等です。同じオプションは、同等のゲームへのオプションとして定義されます。元に戻せる動きがあるオプションを追加しても、同等性には影響しません。

いくつかの落ち着きのないペアは、同じ種の別の落ち着きのないゲームに追加されても、まだおとなしいままです。

半分飼いならされたゲームをそれ自身に追加すると、*0 と同等になります。

属理論をさらに理解するには、可逆的な動きがどのように機能するかを知ることが重要です。2 つのゲーム A と B があり、A と B に同じオプション (利用可能な動き) がある場合、もちろんそれらは同等です。

B にゲーム X などの追加オプションがある場合、X から A への移動があれば、A と B は依然として同等です。

つまり、B は、元に戻すことができる追加の動き (X) を除いて、すべての点で A と同じです。

さまざまなゲーム（ポジション）は、いくつかのタイプに分類できます。

• ニム
• 飼いならされた
• 落ち着きがない
• 落ち着かない
• 半分飼い慣らされた
• 野生

これは、ポジションがミゼールプレイ規約の下でのニムヒープとまったく同じであることを意味するのではなく、ゲームをニムとして分類するということは、それがニムヒープと同等であることを意味します。

次の場合、ゲームは Nim ゲームです。

• ^{種数は 0 1} , 1 ⁰ , 2 ² , 3 ³ ...です。
• 単一のニムヒープへの移動のみが可能、つまり位置 *1 または *2 への移動が可能であり、例えば *x+*y への移動は不可能である (ただし次の点を参照)
• ニムではないゲームへの移動も可能だが、その場合、属を決定する必要はなく、それらのゲームにはそれぞれ同じ属のニムゲームへの選択肢が少なくとも1つある。

これらは、ニムの位置であると仮定できる位置です (ニムの位置は、複数のニム ヒープが一緒に追加される可能性があり、単一のニム ヒープは 1 つのニム ヒープのみになる可能性があることに注意してください)。ゲーム G が tame であるのは、次の場合です。

• 種数は 0 ¹、 1 ⁰、または 0 ⁰、 1 ¹、 2 ²、 3 ³ ...です。
• Gのオプションはすべて穏やかです
• G には、種数に影響を与えない場合にはワイルド オプション (tame または nim ではない位置) も存在する可能性があり、各オプションには、種数 g ^?および ? ^{λ を}持つゲームを tame するための可逆的な動きがあります。

^{g ?}と ? ^λへの移動は実際には同じオプションである可能性があることに注意してください。? は任意の数を意味します。

• 区別不能指数

• ジョン・ホートン・コンウェイ著『数字とゲームについて』
• エルウィン・バーレカンプ、ジョン・コンウェイ、リチャード・ガイ著『数学的プレイで勝つ方法』。