一般化スペクトログラム

信号（時間の関数として捉えられる）を時間軸と周波数軸の両方で表示するには、時間周波数表現を使用します。スペクトログラムは最も一般的な時間周波数表現の 1 つであり、一般化スペクトログラム（「2 ウィンドウ スペクトログラム」とも呼ばれる）はスペクトログラムの一般化された応用です。

スペクトログラムの定義はガボール変換（短時間フーリエ変換、略して STFT とも呼ばれる）に依存しており、その考え方は、信号fをウィンドウ関数の変換で乗算することで、時間内で信号f を局所化するというものです。 ${\displaystyle w(t)}$

スペクトログラムの定義は

${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$、

ここで はのガボール変換を表します。 ${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}}$${\displaystyle x(t)}$

スペクトログラムに基づいて、一般化スペクトログラムは次のように定義されます。

${\displaystyle S{P_{x,{w_{1}},{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{_{x,{w_{2}}}}^{*}(t,f)}$、

どこ：

${\displaystyle {G_{x,{w_{1}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

${\displaystyle {G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{2}}\left({t-\tau }\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }}$

の場合、これは古典的なスペクトログラムに簡約されます。 ${\displaystyle w_{1}(t)=w_{2}(t)=w(t)}$

${\displaystyle S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f)=|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}}$

一般化スペクトログラムの特徴は、とのウィンドウ サイズが異なることです。時間周波数解像度はウィンドウ サイズによって影響を受けるため、広いウィンドウと狭いウィンドウ(またはその逆) を選択すると、スペクトログラムのさまざまな部分で解像度が高くなります。これら 2 つのガボール変換を乗算すると、時間軸と周波数軸の両方の解像度が向上します。 ${\displaystyle w_{1}(t)}$${\displaystyle w_{2}(t)}$${\displaystyle w_{1}(t)}$${\displaystyle w_{1}(t)}$

ウィグナー分布との関係

${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)=Wig(w_{1}',w_{2}')*Wig(t,f)(x,w),}$

どこ${\displaystyle w_{1}'(s):=w_{1}(-s),w_{2}'(s):=w_{2}(-s)}$

時間限界条件

一般化スペクトログラムが時間限界条件を満たすのは、${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta }$

ここで、はディラックのデルタ関数を表す。${\displaystyle \delta}$

頻度限界条件

一般化スペクトログラムは、次の場合にのみ周波数限界条件を満たす。${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$${\displaystyle w_{1}w_{2}'=\delta }$

ここで、はディラックのデルタ関数を表す。${\displaystyle \delta}$

エネルギーの保存

一般化スペクトログラムは、次の場合にのみエネルギー保存則を満たします。${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$${\displaystyle (w_{1},w_{2})=1}$

現実分析

一般化スペクトログラムは、ある に対して である場合に限り、実数です。${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)}$${\displaystyle w_{1}=Cw_{2}}$${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$