ゲルマンとローの定理

場の量子論において、ゲルマン-ローの定理は、相互作用する系の基底（または真空）状態を、それに対応する非相互作用理論の基底状態に関連付けることを可能にする数学的記述である。この定理は、1951 年にMurray Gell-MannとFrancis E. Lowによって証明された。この定理が有用なのは、とりわけ、相互作用する理論の基底状態をその非相互作用基底状態に関連付けることにより、グリーン関数（相互作用する真空におけるハイゼンベルク描像の場の期待値として定義される）を、非相互作用真空における相互作用描像の場の期待値として表すことができるからである。ゲルマン-ローの定理は、典型的には基底状態に適用されますが、ハミルトニアンの任意の固有状態に適用されます。この定理の証明は、相互作用しないハミルトニアンから始めて、相互作用を断熱的に切り​​替えるという概念に依存しています。

この定理は、1951年にゲルマンおよびローによってダイソン級数を用いて初めて証明された。^[1] 1969年にクラウス・ヘップは、元のハミルトニアンが自由粒子を記述し、相互作用がノルム制限されている場合の別の導出を示した。^{[2] 1989年にG.ネンチュおよびG.ラシェは}、断熱定理を用いてこれを証明した。^[3]ダイソン展開に依存しない証明は、2007年にルカ・グイド・モリナリによって与えられた。^[4]

をエネルギーを持つの固有状態とし、「相互作用する」ハミルトニアンを とします。ここで は結合定数、 は相互作用項です。と の極限でと の間を効果的に補間するハミルトニアンを定義します。 は相互作用図における発展演算子を表します。ゲルマンとローの定理は、の 極限が${\displaystyle |\Psi _{0}\rangle }$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle H=H_{0}+gV}$${\displaystyle g}$${\displaystyle V}$${\displaystyle H_{\epsilon }=H_{0}+e^{-\epsilon |t|}gV}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0^{+}}$${\displaystyle |t|\rightarrow \infty }$${\displaystyle U_{\epsilon I}}$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0^{+}}$

${\displaystyle |\Psi _{\epsilon }^{(\pm )}\rangle ={\frac {U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle }{\langle \Psi _{0}|U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle }}}$

が存在する場合、の固有状態になります。 ${\displaystyle |\Psi _{\epsilon }^{(\pm )}\rangle }$${\displaystyle H}$

たとえば基底状態に適用した場合、定理は進化した状態が基底状態になることを保証するものではないことに注意してください。言い換えると、レベル交差は排除されません。

原論文と同様に、定理は典型的にはダイソンの発展演算子の展開を利用して証明される。しかし、その妥当性はモリナリによって実証されたように摂動論の範囲を超えている。ここではモリナリの方法に従う。 に注目し、 とする。時間発展演算子のシュレーディンガー方程式から ${\displaystyle H_{\epsilon }}$${\displaystyle g=e^{\epsilon \theta }}$

${\displaystyle i\hbar \partial _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=H_{\epsilon }(t_{1})U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})}$

そして境界条件は次のように正式に書ける。 ${\displaystyle U_{\epsilon }(t_{2},t_{2})=1}$

${\displaystyle U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=1+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{t_{2}}^{t_{1}}dt'(H_{0}+e^{\epsilon (\theta -|t'|)}V)U_{\epsilon }(t',t_{2}).}$

今のところ、ケースに注目してください。変数の変更により、次のように書くことができます。 ${\displaystyle 0\geq t_{1}\geq t_{2}}$${\displaystyle \tau =t'+\theta }$

${\displaystyle U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=1+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{\theta +t_{2}}^{\theta +t_{1}}d\tau (H_{0}+e^{\epsilon \tau }V)U_{\epsilon }(\tau -\theta ,t_{2}).}$

したがって、

${\displaystyle \partial _{\theta }U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=\epsilon g\partial _{g}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=\partial _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})+\partial _{t_{2}}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2}).}$

この結果はシュレーディンガー方程式とその随伴方程式と組み合わせることができる。

${\displaystyle -i\hbar \partial _{t_{1}}U_{\epsilon }(t_{2},t_{1})=U_{\epsilon }(t_{2},t_{1})H_{\epsilon }(t_{1})}$

取得する

${\displaystyle i\hbar \epsilon g\partial _{g}U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})=H_{\epsilon }(t_{1})U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})-U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})H_{\epsilon }(t_{2}).}$

間の対応する式は同じです。これは、両辺に を前置して掛け、 を後置して を掛け、 を使用すること で得られます。${\displaystyle H_{\epsilon I},U_{\epsilon I}}$${\displaystyle e^{iH_{0}t_{1}/\hbar }}$${\displaystyle e^{iH_{0}t_{2}/\hbar }}$

${\displaystyle U_{\epsilon I}(t_{1},t_{2})=e^{iH_{0}t_{1}/\hbar }U_{\epsilon }(t_{1},t_{2})e^{-iH_{0}t_{2}/\hbar }.}$

もう一つのケース、すなわち は類似の方法で扱うことができ、交換子の前にマイナス符号が追加されます（ここではが混合符号を持つ ケースについては考慮しません ）。要約すると、${\displaystyle t_{2}\geq t_{1}\geq 0}$${\displaystyle t_{1,2}}$

${\displaystyle \left(H_{\epsilon ,t=0}-E_{0}\pm i\hbar \epsilon g\partial _{g}\right)U_{\epsilon I}(0,\pm \infty )|\Psi _{0}\rangle =0.}$

負の倍数の場合について考えてみましょう。わかりやすくするために、さまざまな演算子を省略します。

${\displaystyle i\hbar \epsilon g\partial _{g}\left(U|\Psi _{0}\rangle \right)=(H_{\epsilon }-E_{0})U|\Psi _{0}\rangle .}$

ここで、の定義を用いて、上記の式 を微分し導関数を消去すると、${\displaystyle \Psi _{\epsilon }}$${\displaystyle \partial _{g}(U|\Psi _{0}\rangle )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}i\hbar \epsilon g\partial _{g}|\Psi _{\epsilon }\rangle &={\frac {1}{\langle \Psi _{0}|U|\Psi _{0}\rangle }}(H_{\epsilon }-E_{0})U|\Psi _{0}\rangle -{\frac {U|\Psi _{0}\rangle }{{\langle \Psi _{0}|U|\Psi _{0}\rangle }^{2}}}\langle \Psi _{0}|(H_{\epsilon }-E_{0})U|\Psi _{0}\rangle \\&=(H_{\epsilon }-E_{0})|\Psi _{\epsilon }\rangle -|\Psi _{\epsilon }\rangle \langle \Psi _{0}|H_{\epsilon }-E_{0}|\Psi _{\epsilon }\rangle \\&=\left[H_{\epsilon }-E\right]|\Psi _{\epsilon }\rangle .\end{aligned}}}$

ここで です。仮定により、左辺の は有限であるとすることができます。すると が の固有状態であることが明らかにわかり、証明は完了です。 ${\displaystyle E=E_{0}+\langle \Psi _{0}|H_{\epsilon }-H_{0}|\Psi _{\epsilon }\rangle }$${\displaystyle \epsilon \rightarrow 0^{+}}$${\displaystyle g\partial _{g}|\Psi _{\epsilon }\rangle }$${\displaystyle |\Psi _{\epsilon }\rangle }$${\displaystyle H}$

• AL フェッターと JD ワレッカ：「多粒子系の量子理論」、マグロウヒル (1971)