ガリレオのパラドックス

ガリレオのパラドックスは、無限集合の驚くべき特性の 1 つを示すものである。ガリレオ・ガリレイは、最後の科学的著作である「二つの新しい科学」で、正の整数について一見矛盾した発言をしている。まず、平方数は整数の平方である。数には平方数とそうでない数があり、したがって平方数と非平方数の両方を含むすべての数は、平方数だけより多くなければならない。しかし、すべての数に対して平方数は 1 つだけ存在する。したがって、一方が他方より多く存在することはあり得ない。これは、無限集合の文脈における 1 対 1 対応という概念の初期の使用例であるが、これが最初ではない。

ガリレオは、より小さい、等しい、より大きいという考えは有限量には当てはまるが、無限量には当てはまらないと結論付けました。19 世紀にカントルは、この制限が必要ない枠組みを見つけました。無限集合間の比較を意味のある方法で定義することが可能であり(この定義によれば、整数と平方の 2 つの集合は「同じサイズ」になります)、この定義によれば、一部の無限集合は他の集合よりも厳密に大きいということです。

これらの考えはガリレオにとって新しいものではなかったが、彼の名前はそれらと結び付けられるようになった。特に、 1302年頃のドゥンス・スコトゥスは、偶数を全体の数と比較した。^[1]

以下に『二つの新しい科学』の関連部分を抜粋する: ^[2]

シンプリシオ：ここで、私には解決不可能と思われる困難が生じています。ある線が他の線よりも長く、それぞれの線に無限の点が含まれていることは明らかなので、同じクラス内に無限よりも大きいものがあることを認めざるを得ません。長い線の点の無限は、短い線の点の無限よりも大きいからです。無限の量に無限よりも大きい値を割り当てることは、私にはまったく理解できません。

サルヴィアーティ：これは、我々が有限の心で無限について議論しようとし、有限で限られたものに与える特性を無限に割り当てようとするときに生じる困難の 1 つです。しかし、これは間違っていると思います。なぜなら、無限の量を、ある量が他の量より大きい、または小さい、または等しいなどと語ることはできないからです。このことを証明するために、私はある議論を念頭に置いています。わかりやすくするために、この困難を提起したシンプリシオに質問の形で提示します。

どの数字が平方数で、どの数字が平方数でないかは当然ご存知だと思います。

Simplicio : 平方数は、ある数をそれ自身で乗算して得られる数であることはよく知っています。つまり、4、9 などは、2、3 などをそれ自身で乗算して得られる平方数です。

サルヴィアーティ： 結構です。また、積が平方数と呼ばれるのと同じように因数が辺または根号と呼ばれることもご存じでしょう。一方、2 つの等しい因数から成らない数は平方数ではありません。したがって、平方数と非平方数の両方を含むすべての数は、平方数だけよりも大きいと私が主張すれば、私は真実を語っていることになります。そうではありませんか。

シンプリシオ：もちろんです。

サルヴィアーティ：さらに正方形がいくつあるかと尋ねれば、対応する根の数と同じだけあると答えるかもしれません。なぜなら、すべての正方形にはそれ自身の根があり、すべての根にはそれ自身の正方形があるからです。一方、どの正方形も 1 つ以上の根はなく、どの根も 1 つの正方形より多くはありません。

シンプリシオ：まさにその通りです。

サルヴィアーティ：しかし、根がいくつあるかと問うなら、すべての数は何らかの平方根であるため、数と同じ数があることは否定できません。これが認められると、平方数は数と同じ数だけあると言わなければなりません。なぜなら、平方数はその根と同じ数だけあり、すべての数は根だからです。しかし、最初に、数の大多数は平方数ではないため、数のほうが平方数よりはるかに多いと述べました。それだけでなく、数が大きくなるほど平方数の比率は減少します。したがって、100 までは 10 個の平方数があり、つまり、平方数はすべての数の 1/10 を構成します。10000 までは、1/100 の部分だけが平方数であり、100 万までは 1/1000 の部分だけが平方数です。一方、無限数の場合、そのようなことを考えることができれば、すべての数を合わせた数と同じ数の平方数があることを認めざるを得ないでしょう。

サグレド：では、このような状況下ではどのような結論に達する必要があるのでしょうか？

サルヴィアーティ：私の見るところ、すべての数の総数は無限であり、平方の数は無限であり、その根の数も無限であると推論することしかできません。平方の数がすべての数の総数より少ないことも、平方の数が平方の数より多いことも、また平方の数が平方の数より多いこともないのです。そして最後に、「等しい」、「大きい」、「より少ない」という属性は、無限の量には適用できず、有限の量にのみ適用できます。したがって、シンプリシオが長さの異なる複数の直線を持ち出して、長い直線が短い直線よりも多くの点を含まないのはなぜ可能かと私に尋ねたとき、私は、ある直線が他の直線よりも多くの点や少ない点、または同じ数の点を含むのではなく、各直線が無限の数を含むのだと答えます。

— ガリレオ『二つの新しい科学』

• デデキント無限集合
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• マシュー・W・パーカー著『哲学的方法とガリレオの無限のパラドックス』 – PhilSci-Archive