部分的に満たされた導管の流れ

流体力学では、閉じた導管内の流れは、通常、排水溝や下水道などの場所で発生し、液体は閉じたチャネル内を連続的に流れ、チャネルは特定の深さまでしか満たされません。このような流れの典型的な例としては、円形チャネルや Δ 字型チャネル内の流れがあります。

閉水路流は、開水路流と、閉水路流には閉じた上部の幅があるのに対し、開水路では片側が周囲の環境に露出しているという点のみで異なります。閉水路流は、一般に水路流の原理に従います。これは、流れる液体が水路内に自由表面を持つためです。 ^[1]しかし、境界が上部に収束することで、閉水路流には最大流量が発生する深さが限られているなど、流れにいくつかの特別な特性が与えられます。^[2]計算の目的で、流れは均一な流れとして扱われます。このような閉水路流の数学的計算には、マニングの式、連続の式 (Q=AV)、および水路の断面の幾何学的関係が使用されます。^[2]

直径Dの閉じた円形の導管があり、その内部に部分的に液体が流れているとします。図(a)に示すように、導管の中心にある自由表面によって囲まれる角度をラジアンで2θとします。

導管を流れる液体の断面積（A）は次のように計算されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}A=&{{D^{2}\theta } \over {4}}-2{\biggl (}\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {D}{2}}\sin \theta {\frac {D}{2}}\cos \theta {\Biggr )}\\&={\frac {D^{2}}{4}}{\biggl (}\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta {\biggr )}\\\end{aligned}}}$ （式1）

濡れ周囲長(P) は次のように表されます。

${\displaystyle P=D\theta }$

したがって、水力半径(R _{h ) は}、断面積(A) と濡れ周囲長 (P) を使用して次の関係 で計算されます。

${\displaystyle R_{h}={\frac {A}{P}}={\frac {D}{4}}{\biggl (}1-{\frac {1}{2}}{\frac {\sin 2\theta }{\theta }}{\biggr )}}$^[1] （式2）

排出率はマニングの式から計算できます 。

${\displaystyle Q={\frac {D^{2}}{4}}{\biggl (}\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta {\biggr )}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}S^{\frac {1}{2}}{{{\biggl (}{\frac {D}{4}}{\biggl (}1-{\frac {1}{2}}{\frac {\sin 2\theta }{\theta }}{\biggr )}{\biggr )}}^{\frac {2}{3}}}}$^[1 ]

${\displaystyle =K{\biggl (}\theta -{\frac {\sin 2\theta }{2}}{\biggr )}{{{\biggl (}1-{\frac {\sin 2\theta }{2\theta }}{\Biggr )}}^{\frac {2}{3}}}}$ （式3）

ここで定数 ${\displaystyle K={\frac {{D}^{\frac {8}{3}}}{{4}^{\frac {5}{3}}}}{\frac {{S}^{\frac {1}{2}}}{n}}}$

上記の式に代入すると、導管が満水になったときの流量（Q _full）が得られます。 ${\displaystyle \theta =\pi }$

${\displaystyle Q_{(full)}=K\pi }$ （式4）

無次元形式では、放電率 Q は通常次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {Q}{{Q}_{full}}}={\frac {1}{\pi }}{\biggl (}\theta -{\frac {\sin 2\theta }{2}}{\biggr )}{{{\biggl (}1-{\frac {\sin 2\theta }{2\theta }}{\biggr )}}^{\frac {2}{3}}}}$ ^[1] （式5）

同様に速度(V) については次のように書くことができます。

${\displaystyle {\frac {V}{{V}_{(full)}}}={{{\biggl (}1-{\frac {\sin 2\theta }{2\theta }}{\biggr )}}^{\frac {2}{3}}}}$ ^[1] （式6）

流れの深さ（H）は、無次元形式で次のように表されます。

${\displaystyle {\frac {H}{D}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\cos \theta }$ ^[1] （式7）

_{Q/Q (full)}と V/V _(full)の H/D 比による変化を図 (b) に示します。式 5 から、Q/Q _(full)の最大値は H/D =0.94 のときに 1.08 に等しいことがわかります。これは、導管が部分的に満水の場合に、導管を通る流量が最大になることを意味しています。同様に、V/V _(full)の最大値(1.14 に等しい) も、導管が部分的に満水で H/D = 0.81 のときに観測されます。これらの結果の物理的な説明は、一般的に、マニングの式におけるシェジーの係数の水力半径 R _hによる典型的な変化に起因します。^[1]ただし、これらの値を計算する際、マニングの粗度係数 'n' は流れの深さに依存しないという重要な仮定が採用されます。また、Q/Q(full)の寸法曲線は、深さが約0.82Dより大きい場合、同じ流量に対して0.938Dの値より上と下の2つの異なる深さが存在する可能性があることを示している^[3]

実際には、水深が0.82Dを超えると水面のわずかな乱れによって水面が別の通常深度を求めて表面が不安定になる可能性があるため、2つの通常深度の領域を避けるために、0.82Dの値以下に流れを制限するのが一般的です。^[2]