フィンスラーの補題

フィンスラーの補題は、ポール・フィンスラーにちなんで名付けられた数学的成果である。これは、線型形式Lによって制約された二次形式Qの正定値性を表現する同等の方法を述べている。これは、ヤクボビッチの S 補題など、最適化や制御理論で使用される他の補題と同等であるため、^{[1]フィンスラーの補題には多くの証明が与えられており、特に}ロバスト最適化や線形行列不等式に関連する結果で広く使用されている。

x ∈ R ⁿ、Q ∈ R ^{n xn}、L ∈ R ^{n xn} を対称行列とする。次の文は同値である: ^[2]

• ${\displaystyle \displaystyle x^{T}Lx=0{\text{ かつ }}x\neq 0{\text{ は }}x^{T}Qx<0 を意味します。}$
• ${\displaystyle \exists \mu \in \mathbb {R} :Q-\mu L\prec 0.}$

行列Lが不定値の場合、厳密な不等式を非厳密な不等式に置き換えても、フィンスラーの補題のステートメント間の同値性は維持されます。しかし、Lが不定値でない場合は、ステートメント間の同値性を保証するために追加の仮定が必要になります。^[3]

Lが半正定値である特別な場合には、それをL = B ^T Bと分解することができる。文献ではフィンスラーの補題とも呼ばれる以下の文は同値である：^[4]

• ${\displaystyle x^{T}Qx<0{\text{ 全ての }}x\in \ker(B)\smallsetminus \{0\}} に対して$
• ${\displaystyle B^{\perp ^{T}}QB^{\perp }\prec 0}$
• ${\displaystyle \exists \mu \in \mathbb {R} :Q-\mu B^{T}B\prec 0}$
• ${\displaystyle \exists X\in \mathbb {R} ^{n\times m}:Q+XB+B^{T}X^{T}\prec 0}$

フィンスラーの補題には、2次行列不等式に対する変形として行列フィンスラーの補題があり、 R ^{( l + k )x( l + k )}に属する対称行列QとLに対して次の命題が同値であることを述べている。^{[5] [6]}

• ${\displaystyle \left[{\begin{array}{l}I\\Z\end{array}}\right]^{\​​top }Q\left[{\begin{array}{l}I\\Z\end{array}}\right]\succeq 0{\text{ }}Z\in \mathbb {R} ^{l\times k}{\text{ に対して、}}\left[{\begin{array}{l}I\\Z\end{array}}\right]^{\​​top }L\left[{\begin{array}{l}I\\Z\end{array}}\right]=0}$
• ${\displaystyle \exists \mu \in \mathbb {R} :Q-\mu L\succeq 0}$

という仮定の下で

${\displaystyle Q={\begin{bmatrix}Q_{11}&Q_{12}\\Q_{12}^{T}&Q_{22}\end{bmatrix}}}$そして${\displaystyle L={\begin{bmatrix}L_{11}&L_{12}\\L_{12}^{T}&L_{22}\end{bmatrix}}}$

次の仮定を満たす:

1. Q ₁₂ = 0 かつQ ₂₂ < 0、
2. L ₂₂ < 0であり、L ₁₁ - L ₁₂ L ₂₂ ⁺ L ₁₂ = 0であり、
3. Q ₁₁ + G ^T Q ₂₂ G > 0かつL ₂₂ G = L ₁₂ ^Tとなる行列Gが存在する_。

以下のステートメントの同値性は線形行列不等式の文献では一般的であり、射影補題（または消去補題）として知られています。^[7]

• ${\displaystyle B^{\perp ^{T}}QB^{\perp }\prec 0{\text{ および }}C^{T\perp T}QC^{T\perp }\prec 0}$
• ${\displaystyle \exists X\in \mathbb {R} ^{n\times m}:Q+CXB+B^{T}X^{T}C^{T}\prec 0}$

この補題は、追加の行列Cとこの追加の行列に関連する追加の制約 を含めることによって、Finsler の補題の変形の 1 つを一般化します。

興味深いことに、厳密な不等式を非厳密な不等式に変更すると、同値性はもはや成立しなくなります。2番目のステートメントのみが最初のステートメントを意味します。それでも、追加の仮定の下でステートメント間の同値性を得ることは可能です。^[8]

フィンスラーの補題は、集合S内のパラメータsに依存する行列QおよびBにも一般化されます。この場合、同じ変数 μ (それぞれX ) がすべての(それぞれ、)に対してを満たすことができるかどうかを尋ねるのは自然です。 QとB がパラメータsに連続的に依存し、Sがコンパクトである場合、これは真です。Sがコンパクトでなくても、QとB が連続行列値関数である場合、 μ とX は少なくとも連続関数であることが保証されます。^[9]${\displaystyle Q(s)-\mu B^{T}(s)B(s)\prec 0}$${\displaystyle s\in S}$${\displaystyle Q(s)+X(s)B(s)+B^{T}(s)X^{T}(s)\prec 0}$

^{フィンスラー補題の行列変形は、Lur'eシステムのデータ駆動制御[5]}や、データ駆動型の堅牢な線形行列不等式ベースのモデル予測制御方式^[10]に適用されている。

フィンスラーの補題は、安定性と制御の問題に新しい線形行列不等式（LMI）の特徴を与えるために使用することができます。^[4]この手順から派生したLMIのセットは、ロバスト制御問題や線形パラメータ可変システムの制御など、システム行列がパラメータに依存する制御問題に適用された場合、あまり保守的ではない結果をもたらします。 ^[11]このアプローチは最近S変数アプローチと呼ばれています^{[12] [13]そして、このアプローチから派生したLMIはSV-LMI（または膨張LMI [14]}） として知られています。

非線形システムは、システムのすべての順方向完全解が大域的に安定化できる場合、普遍的安定化可能性を持ちます。フィンスラーの補題を使用すると、微分線形行列不等式の観点から普遍的安定化の十分条件を導くことができます。^[15]

• 線形行列不等式
• S手順
• 消去補題