ファクセンの法則

流体力学において、ファクセンの法則は球の速度と${\displaystyle \mathbf {U} }$角速度${\displaystyle \mathbf {\オメガ } }$低レイノルズ数（クリープ流）条件下で受ける力、トルク、応力、流れに対して。

ファクセンの第一法則は、当時ウプサラ大学で活躍していたスウェーデンの物理学者ヒルディング・ファクセンによって1922年に提唱され、 ^{[ 1 ] [ 2 ]}に示されている。

${\displaystyle \mathbf {F} =6\pi \mu a\left[\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {u} '-(\mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty })\right],}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {F} }$流体が球体に及ぼす力
• ${\displaystyle \mu }$は、球体が置かれている溶媒のニュートン粘度である。
• ${\displaystyle a}$球の半径は
• ${\displaystyle \mathbf {U} }$は球の（並進）速度である
• ${\displaystyle \mathbf {u} '}$これは、浮遊する他の球体によって引き起こされる擾乱速度（背景の強制流によるものではない）を球体の中心で評価したものである。
• ${\displaystyle \mathbf {u} ^{\infty }}$は、球の中心で評価された背景の圧痕流です（一部の文献ではゼロに設定されています）。

次のように書くこともできます

${\displaystyle \mathbf {U} -\mathbf {u} ^{\infty }=\mathbf {u} '+b_{0}\mathbf {F} +{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\mathbf {u} ',}$

どこ${\displaystyle b_{0}=-{\frac {1}{6\pi \mu a}}}$これは流体力学的移動度である。

圧力勾配が球の直径の長さスケールに比べて小さく、かつ外力が作用しない場合は、この形式の最後の2項は無視できる。この場合、外部流体の流れは単純に球を移流させるだけである。

ファクセンの第2法則は^{[ 1 ] [ 2 ]で与えられる。}

${\displaystyle \mathbf {T} =8\pi \mu a^{3}\left[{\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} '\right)-(\mathbf {\Omega } -\mathbf {\Omega } ^{\infty })\right],}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {T} }$流体が球体に及ぼすトルクは
• ${\displaystyle \mathbf {\オメガ } }$は球の角速度である
• ${\displaystyle \mathbf {\オメガ } ^{\infty }}$は、球の中心で評価された背景流の角速度です（一部の文献ではゼロに設定されています）。

ジョージ・バチェラーとJTグリーン^{[ 3 ]}は、応力小点の式を導出した^{[ 1 ] [ 2 ]。}

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {S}}}={\frac {10}{3}}\pi \mu a^{3}\left[2{\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }+\left(1+{\frac {1}{10}}a^{2}\nabla ^{2}\right)\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right)\right],}$

どこ

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {S}}}}$は流体が球体に及ぼす応力（力の一次モーメントの対称部分）であり、
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '}$は速度勾配テンソルです。$\displaystyle {}^{\mathrm {T} }}$転置を表します。${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} '+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ')^{\mathrm {T} }\right]}$は、ひずみ速度、つまり変形速度を表すテンソルです。
• $\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}^{\infty }={\frac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty }+({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ^{\infty })^{\mathrm {T} }\right]}$は、球の中心で評価された背景流の歪み率です（一部の文献ではゼロに設定されています）。

球体にはひずみ速度がないことに注意してください（${\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {E}}}}$球体は剛体であると仮定されているため。

ファクセンの法則は、粘性流体中の球状物体の摩擦に関するストークスの法則の修正であり、物体が容器の壁の近くを移動する場合に有効である。^{[ 4 ]}

• 埋め込み境界法

• Faxén, H. (1922), "Der Widerstand gegen die Bewegung einer starren Kugel in einer zähen Flüssigkeit, die zwischen zwei parallelen ebenen Wänden eingeschlossen ist", Annalen der Physik, 373 (10): 89–119, Bibcode:1922AnP...373...89F, doi:10.1002/andp.19223731003
• Happel, J.; Brenner, H. (1991), Low Reynolds Number Hydrodynamics, Dordrecht: Kluwer