フリッシュ・ウォー・ラヴェル定理

計量経済学において、フリッシュ・ウォー・ラヴェル（FWL）定理は、計量経済学者のラグナー・フリッシュ、フレデリック・V・ウォー、マイケル・C・ラヴェルにちなんで名付けられました。^{[1] [2] [3]}

フリッシュ・ウォーフ・ラヴェルの定理は、関心のある回帰が2 つの別々の予測変数セットで表現される場合、次のようになります。

${\displaystyle Y=X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+u}$

ここで、およびは行列、およびはベクトル（およびは誤差項）であり、の推定値は、次の形式の修正回帰からの の推定値と同じになります。 ${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle \beta _{2}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \beta _{2}}$

${\displaystyle M_{X_{1}}Y=M_{X_{1}}X_{2}\beta _{2}+M_{X_{1}}u,}$

ここで、射影行列の像の直交補行列に射影される。同様に、M _{X 1 は}X ₁の列空間の 直交補行列に射影される。具体的には、 ${\displaystyle M_{X_{1}}}$ ${\displaystyle X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}}}$

${\displaystyle M_{X_{1}}=I-X_{1}(X_{1}^{\mathsf {T}}X_{1})^{-1}X_{1}^{\mathsf {T}},}$

この特定の直交射影行列は残差マーカー行列または消滅行列として知られています。^{[4] [5]}

ベクトルは、 の列に対するの回帰から得られた残差のベクトルです。 ${\textstyle M_{X_{1}}Y}$${\textstyle Y}$${\textstyle X_{1}}$

この定理の最も重要な結果は、 のパラメータは には適用されずに適用されること、つまり の部分はと無相関であることです。これは、多変量回帰に対する各変数の寄与を理解するための基礎となります（たとえば、^[6]の第13章を参照）。 ${\textstyle \beta _{2}}$${\textstyle X_{2}}$${\textstyle M_{X_{1}}X_{2}}$${\textstyle X_{2}}$${\textstyle X_{1}}$

この定理は、予測変数が無相関である場合、取得に使用される二次回帰は不要であることも意味します。投影行列を使用して説明変数を互いに直交させると、すべての非直交説明変数を含めて回帰を実行した場合と同じ結果が得られます。 ${\displaystyle M_{X_{1}}}$

さらに、部分回帰からの標準誤差は完全回帰からの標準誤差と等しい。^[7]

この定理の起源は定かではないが、フリッシュとウォーの論文以前には線型回帰の分野では確立されていた。 1907年に出版されたジョージ・ユールの偏回帰の包括的な分析では、184ページの第9節にこの定理が含まれていた。 ^[8]ユールは、同じ論文の第10節で言及されているように、多重回帰と偏回帰、相関係数を理解する上での定理の重要性を強調した。^[8]

ユール1907 ^[8]は、今日でも使用されている部分回帰表記法も導入しました。

この定理は、後にフリッシュ、ウォー、ラヴェルと関連付けられ、ユールの偏回帰記法とともに、1911年に初版が発行されたユールの統計学の教科書の第10章に掲載されました。この本は1932年までに第10版に達しました。^[9]

1931年にマジェットと共著した論文で、フリッシュはユールの結果を明確に引用した。^[10]ユールの偏回帰の公式は、別の著者による誤引用を訂正するために引用され、ユールに明示的に帰属された。^[10]フリッシュとウォーの1933年の論文ではユールは明示的に言及されていないが、彼らはユールが1907年に最初に導入した偏回帰係数の表記法を利用しており、これはユールの教科書の成功により1933年までによく知られていた。

1963年にラヴェルはより直接的で直感的であると考えられる証明^[11]を発表しました。これを認識して、人々は一般に定理名に彼の名前を付け加えます。

• デイビッドソン、ラッセル、マッキノン、ジェームズ G. (1993)。計量経済学における推定と推論。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp. 19–24。ISBN 0-19-506011-3。
• デイビッドソン、ラッセル、マッキノン、ジェームズ・G. (2004)。計量経済学の理論と方法。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp. 62–75。ISBN 0-19-512372-7。
• ハスティー、トレバー、ティブシラニ、ロバート、フリードマン、ジェローム(2017)。「単変量回帰からの多重回帰」(PDF)。統計学習の要素: データマイニング、推論、予測(第 2 版)。ニューヨーク:シュプリンガー。pp. 52–55。ISBN 978-0-387-84857-0。
• ルード、PA（2000）。古典的計量経済理論入門。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。pp.54-60。ISBN 0-19-511164-8。
• ジョン・スタチャースキー (2016)。計量経済理論の入門書。 MITプレス。 311–314ページ。ISBN 9780262337465。