地震マップ

双曲幾何学において、地震マップは、ウィリアム・サーストン (1986) によって導入された、ある双曲多様体を別の双曲多様体に変換する方法です。

有向双曲面上の単純な閉じた 測地線と実数tが与えられた場合、測地線に沿って多様体を切り、辺を距離tだけ左にスライドさせて、再び接着することができます。これにより新しい双曲面が得られ、それらの間の (おそらく不連続な) マップは左地震の例です。

より一般的には、それぞれに実数が付けられた有限個の互いに素な単純な測地線を使用して同じ構成を行うことができます。結果は単純地震と呼ばれます。

地震は、大まかに言って、単純な地震の一種の極限であり、無限の数の測地線があり、各測地線に正の実数を付ける代わりに、測地線に尺度を置きます。

双曲面の測地線積層は、測地線による葉理を持つ閉部分集合である。左地震 E は、測地線積層を持つ双曲面のコピー間の写像、つまり葉理の各層から層への等長写像で構成される。さらに、AとBが 2 つの層である場合、E^−1A
_​え
_Bは、軸がAとB を分離し、左方向に移動する双曲変換です。ここで、 E _{A は}、 A上のEに制限される平面全体の等長変換であり、Bについても同様です。

サーストンの地震定理は、タイヒミュラー空間の任意の2点x、yに対して、 xからyへの唯一の左地震が存在することを述べています。これは、1976年から1977年にかけてプリンストンの講義でウィリアム・サーストンによって証明されましたが、当時は公表されず、最初に公表された声明と証明は、ニールセン実現問題を解くために使用されたケルクホフ (1983) によって与えられました。

• Kerckhoff, Steven P. (1983)、「ニールセン実現問題」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、117 (2): 235– 265、CiteSeerX  10.1.1.353.3593、doi :10.2307/2007076、ISSN  0003-486X、JSTOR  2007076、MR  0690845
• Travaux de hurston sur les surface、Asterisque、vol. 66、パリ:フランス数学協会、1979、ISBN 978-99920-1-230-7、MR  0568308
• サーストン、ウィリアム P. (1986)、「2次元双曲幾何学における地震」、DBA エプスタイン (編)、低次元位相幾何学とクライン群、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-33905-6