数字再構成番号

数学において、数字再構成数、またはオシリス数は、自身の数字のサブサンプルの順列の合計に等しい数である（エジプト神話の神オシリスの分解と再構成と比較してください）。たとえば、132 = 12 + 21 + 13 + 31 + 23 + 32。^[1]

10 進数では、最小のオシリス数は次のようになります。数値の長さは 3 桁で、順列和の桁数は 2 です。

132 = 12 + 21 + 13 + 31 + 23 + 32

264 = 24 + 42 + 26 + 62 + 46 + 64

396 = 36 + 63 + 39 + 93 + 69 + 96

すべてが 132 の倍数であることに注意してください。10 進数のより大きなオシリス数は、次のようになります。数値の長さは 5 桁で、順列和の桁数は 3 です。

35964 = 345 + 354 + 435 + 453 + 534 + 543 + 346 + 364 + 436 + 463 + 634 + 643 + 349 + 394 + 439 + 493 + 934 + 943 + 356 + 365 + 536 + 563 + 635 + 653 + 359 + 395 + 539 + 593 + 935 + 953 + 369 + 396 + 639 + 693 + 936 + 963 + 456 + 465 + 546 + 564 + 645 + 654 + 459 + 495 + 549 + 594 + 945 + 954 + 469 + 496 + 649 + 694 + 946 + 964 + 569 + 596 + 659 + 695 + 956 + 965

ゼロをすべての位置で完全な数字として扱うと、10進数の207は最大のオシリス数となり、その数字の順列サブサンプルから形成されるすべての可能な異なる数の合計に等しくなります。

207 = 2 + 0 + 7 + 20 + 02 + 27 + 72 + 07 + 70

他の基数では、ゼロを含まない最大のオシリス数が存在します。例:

253 ₉ = 2 + 3 + 5 + 23 + 32 + 25 + 52 + 35 + 53 (基数 = 9)

210 = 2 + 3 + 5 + 21 + 29 + 23 + 47 + 32 + 48 (基数 = 10)

276 ₁₃ = 2 + 6 + 7 + 26 + 62 + 27 + 72 + 67 + 76 (b=13)

435 = 2 + 6 + 7 + 32 + 80 + 33 + 93 + 85 + 97 (b=10)

DF53 ₁₇ = 3 + 5 + D + F + 35 + 53 + 3D + D3 + 3F + F3 + 5D + D5 + 5F + F5 + DF + FD + 35D + 3D5 + 53D + 5D3 + D35 + D53 + 35F + 3F5 + 53F + 5F3 + F35 + F53 + 3DF + 3FD + D3F + DF3 + F3D + FD3 + 5DF + 5FD + D5F + DF5 + F5D + FD5 (b=17)

68292 = 3 + 5 + 13 + 15 + 56 + 88 + 64 + 224 + 66 + 258 + 98 + 226 + 100 + 260 + 236 + 268 + 965 + 1093 + 1509 + 1669 + 3813 + 3845 + 967 + 1127 + 1511 + 1703 + 4391 + 4423 + 1103 + 1135 + 3823 + 4015 + 4399 + 4559 + 1681 + 1713 + 3857 + 4017 + 4433 + 4561 (b=10)

同じ用語を使用すると、132、264、396 は最小のオシリス数であり、2 つの数字のみを順列したサンプルから形成されるすべての数字の合計に等しくなります。35964 も最小であり、3 つの数字のサンプルの合計ですが、34658 は多重最小のオシリス数であり、1 つまたは 3 つの数字を順列したサンプルから形成されるすべての数字の合計に等しくなります。

34658 = 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 345 + 354 + 435 + 453 + 534 + 543 + 346 + 364 + 436 + 463 + 634 + 643 + 348 + 384 + 438 + 483 + 834 + 843 + 356 + 365 + 536 + 563 + 635 + 653 + 358 + 385 + 538 + 583 + 835 + 853 + 368 + 386 + 638 + 683 + 836 + 863 + 456 + 465 + 546 + 564 + 645 + 654 + 458 + 485 + 548 + 584 + 845 + 854 + 468 + 486 + 648 + 684 + 846 + 864 + 568 + 586 + 658 + 685 + 856 + 865

30659 と 38657 も同様に、1 桁目と 3 桁目の数字を順列したサンプルを使用して多重極小値になります。

たとえば、132 の各数字が合計の一の位と十の位に 2 回出現することに注目すると、オシリス数のテストは簡単になります。

132 = 12 + 21 + 13 + 31 + 23 + 32 = 2x11 + 2x22 + 2x33 = 22 + 44 + 66

テストはさらに簡略化できます。

132 = 2 x (11 + 22 + 33) = 2 x (1 + 2 + 3) x 11 = 2 x 6 x 11

一意の非ゼロ桁を持つ数字だけを考慮すると、10 進数の 3 桁の数字の桁の合計は、6 = 1+2+3 から 24 = 7+8+9 の範囲になります。これらの潜在的な桁の合計を2 x 桁の合計 x 11という式で使用すると、結果の桁の合計によって、結果がオシリス数であるかどうかが決まります。

1. 2× 6 ×11 = 132。

2. 数字の合計（132）= 1 + 2 + 3 = 6。

3. したがって、132 はオシリス数です。

1. 2× 7 ×11＝154。

2. 数字の合計（154）= 1 + 5 + 4 = 10。

3. したがって、154 はオシリス数ではありません。

35964 では、各数字は合計の一位、十位、百位に 12 回出現します。

35964 = 12x333 + 12x444 + 12x555 + 12x666 + 12x999 = 3996 + 5328 + 6660 + 7992 + 11988

35964 = 12 x (333 + 444 + 555 + 666 + 999) = 12 x (3 + 4 + 5 + 6 + 9) x 111 = 12 x 27 x 111

同じ形式のさらに 5 桁のオシリス数 (3 桁をサンプリング) のテストでは、15 = 1+2+3+4+5 から 35 = 5+6+7+8+9 までの潜在的な桁の合計を使用します。この範囲の桁の合計をテストすると、35964 のみが式で使用されているのと同じ桁の合計を返します。これらの簡略化されたテストにより、特定の基数で大きなオシリス数を見つける作業が大幅に軽減されます。たとえば、n = 332,639,667,360の順列された 6 桁のサンプルがnに等しいかどうかを総当たりでテストするには、665,280 個の数字を合計する必要があります。665,280 = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 = 12! / 6!。ただし、nの各桁はサンプル内の 6 つの可能な位置のそれぞれに 55440 回出現するため、テストは次のように簡略化されます。

1. 数字の合計 ( 332,639,667,360 ) = 3+3+2+6+3+9+6+6+7+3+6+0 = 54

2. 55440 x 54 x 111,111 = 332,639,667,360

3. したがって、332,639,667,360 はオシリス数です。

• 数字の合計