ラウス配列の導出

ラウス配列は、特性多項式の係数のみを使用してシステムの安定性を確立することを可能にする表形式の方法です。制御システム設計の分野の中心となるラウス-フルヴィッツの定理とラウス配列は、ユークリッドの互除法とシュトゥルムの定理を使用してコーシー指数を評価することによって生まれました。

システムを考えると:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&{}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}&{}\quad (1)\\&{}=(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})&{}\quad (2)\\\end{aligned}}}$

虚軸上に は根がないと仮定し、${\displaystyle f(x)=0}$

${\displaystyle N}$= 負の実部を持つ の根の数、および${\displaystyle f(x)=0}$

${\displaystyle P}$=正の実部を持つの根の数${\displaystyle f(x)=0}$

すると

${\displaystyle N+P=n\quad (3)}$

極座標で 表すと、${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=\rho (x)e^{j\theta (x)}\quad (4)}$

どこ

${\displaystyle \rho (x)={\sqrt {{\mathfrak {Re}}^{2}[f(x)]+{\mathfrak {Im}}^{2}[f(x)]}}\quad (5)}$

そして

${\displaystyle \theta (x)=\tan ^{-1}{\big (}{\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]{\big )}\quad (6)}$

（２）から、

${\displaystyle \theta (x)=\theta _{r_{1}}(x)+\theta _{r_{2}}(x)+\cdots +\theta _{r_{n}}(x)\quad (7)}$

どこ

${\displaystyle \theta _{r_{i}}(x)=\angle (x-r_{i})\quad (8)}$

ここで、のi乗根が正の実部を持つ場合^、（y=(RE[y],IM[y])という表記を用いる） ${\displaystyle f(x)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=-j\infty }&=\angle (x-r_{i}){\big |}_{x=-j\infty }\\&=\angle (0-{\mathfrak {Re}}[r_{i}],-\infty -{\mathfrak {Im}}[r_{i}])\\&=\angle (-|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,-\infty )\\&=\pi +\lim _{\phi \to \infty }\tan ^{-1}\phi ={\frac {3\pi }{2}}\quad (9)\\\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle \theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=j0}=\angle (-|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,0)=\pi -\tan ^{-1}0=\pi \quad (10)}$

そして

${\displaystyle \theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=j\infty }=\angle (-|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,\infty )=\pi -\lim _{\phi \to \infty }\tan ^{-1}\phi ={\frac {\pi }{2}}\quad (11)}$

同様に、のi乗根が^負の実部を持つ 場合、${\displaystyle f(x)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=-j\infty }&=\angle (x-r_{i}){\big |}_{x=-j\infty }\\&=\angle (0-{\mathfrak {Re}}[r_{i}],-\infty -{\mathfrak {Im}}[r_{i}])\\&=\angle (|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,-\infty )\\&=0-\lim _{\phi \to \infty }\tan ^{1}\phi =-{\frac {\pi }{2}}\quad (12)\\\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle \theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=j0}=\angle (|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,0)=\tan ^{-1}0=0\,\quad (13)}$

そして

${\displaystyle \theta _{r_{i}}(x){\big |}_{x=j\infty }=\angle (|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,\infty )=\lim _{\phi \to \infty }\tan ^{-1}\phi ={\frac {\pi }{2}}\,\quad (14)}$

(9)から(11)までから、のi乗根が正の実部を持つとき^、 (12)から(14)までから、のi乗根が負の実部を持つとき、(15)から(16)までから、のi乗根が負の実部を持つとき、⁽ 17 )から(18)までから、${\displaystyle \theta _{r_{i}}(x){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }=-\pi }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \theta _{r_{i}}(x){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }=\pi }$${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \theta (x){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }=\angle (x-r_{1}){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }+\angle (x-r_{2}){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }+\cdots +\angle (x-r_{n}){\Big |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }=\pi N-\pi P\quad (15)}$

つまり、

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\pi }}\theta (x){\Big |}_{-j\infty }^{j\infty }\quad (16)}$

すると関係が生まれます

${\displaystyle N-P=\Delta \quad (17)}$

そして（３）と（１７）を組み合わせると、

${\displaystyle N={\frac {n+\Delta }{2}}}$そして${\displaystyle P={\frac {n-\Delta }{2}}\quad (18)}$

したがって、次数の方程式が与えられた場合、この関数を評価するだけで、負の実部を持つ根の数 と、正の実部を持つ根の数 を 決定できます。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle N}$${\displaystyle P}$

(6) および図 1 によれば、とが の整数倍である区間 (a,b) にわたって変化する対のグラフは、関数がだけ増加する原因となる変化であり、点 a から点 b への移動の過程で、 が から に「ジャンプ」した回数が、 から にジャンプした回数より 1 回多いことを示しています。同様に、が区間 (a,b) にわたって変化すると、この変化によって が だけ減少し、ここでも はと の両方での倍数であり、これは、 がからにジャンプした回数が、前記区間にわたって変化した ときからにジャンプした回数より 1 回多いことを意味します。${\displaystyle \tan(\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta _{a}=\theta (x)|_{x=ja}}$${\displaystyle \theta _{b}=\theta (x)|_{x=jb}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \theta (x)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta (x)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle x=ja}$${\displaystyle x=jb}$${\displaystyle \tan \theta (x)={\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$

したがって、 は、で が定義されている場合、がから にジャンプするにおける点の数と が から にジャンプする における点の数との差を、の区間にわたって の範囲として乗じたものです。 ${\displaystyle \theta (x){\Big |}_{-j\infty }^{j\infty }}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle {\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle (-j\infty ,+j\infty \,)}$${\displaystyle x=\pm j\infty }$${\displaystyle \tan[\theta (x)]}$

開始点が不一致上にある場合（つまり、i = 0, 1, 2, ...）、式（17）により、終了点も不一致上になります（は整数で は整数なので、は整数になります）。この場合、を に追加することで、正接関数の軸を だけシフトすることで、同じインデックス（正負のジャンプの差）を実現できます。したがって、開始点（つまり終了点）が不一致ではないとき に区間（a,b） = を評価することにより、 の係数の任意の組み合わせに対してインデックスが完全に定義され、 ${\displaystyle \theta _{a}=\pi /2\pm i\pi }$${\displaystyle N}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \tan[\theta ]={\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]}$${\displaystyle (+j\infty ,-j\infty )}$

${\displaystyle \tan[\theta '(x)]=\tan[\theta +\pi /2]=-\cot[\theta (x)]=-{\mathfrak {Re}}[f(x)]/{\mathfrak {Im}}[f(x)]\quad (19)}$

開始点が不一致にある場合、上記の間隔にわたって となります。から まで移動中に遭遇する負と正のジャンプ不一致の​​この差 は、位相角の正接の Cauchy 指数と呼ばれ、位相角はまたはとなり、が の整数倍であるかどうか によって異なります。${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle -j\infty }$${\displaystyle +j\infty }$${\displaystyle \theta (x)}$${\displaystyle \theta '(x)}$${\displaystyle \theta _{a}}$${\displaystyle \pi }$

ラウスの基準を導くために、まず の偶数項と奇数項を区別するために別の表記法を使用します。 ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f(x)=a_{0}x^{n}+b_{0}x^{n-1}+a_{1}x^{n-2}+b_{1}x^{n-3}+\cdots \quad (20)}$

現在、次のようになっています。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(j\omega )&=a_{0}(j\omega )^{n}+b_{0}(j\omega )^{n-1}+a_{1}(j\omega )^{n-2}+b_{1}(j\omega )^{n-3}+\cdots &{}\quad (21)\\&=a_{0}(j\omega )^{n}+a_{1}(j\omega )^{n-2}+a_{2}(j\omega )^{n-4}+\cdots &{}\quad (22)\\&+b_{0}(j\omega )^{n-1}+b_{1}(j\omega )^{n-3}+b_{2}(j\omega )^{n-5}+\cdots \\\end{aligned}}}$

したがって、が偶数の場合、 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(j\omega )&=(-1)^{n/2}{\big [}a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+a_{2}\omega ^{n-4}-\cdots {\big ]}&{}\quad (23)\\&+j(-1)^{(n/2)-1}{\big [}b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+b_{2}\omega ^{n-5}-\cdots {\big ]}&{}\\\end{aligned}}}$

が奇数の場合: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(j\omega )&=j(-1)^{(n-1)/2}{\big [}a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+a_{2}\omega ^{n-4}-\cdots {\big ]}&{}\quad (24)\\&+(-1)^{(n-1)/2}{\big [}b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+b_{2}\omega ^{n-5}-\cdots {\big ]}&{}\\\end{aligned}}}$

ここで、が奇数の整数である場合、(3) により は奇数であることに注意してください。 が奇数の整数である場合、も奇数です。 同様に、この同じ議論から、 が偶数の場合には は偶数になることが示されています。式 (15) は、が偶数の場合にはが の整数倍であることを示しています。 したがって、は偶数に対して定義され、したがって n が偶数の場合には が適切なインデックスとなり、同様に は奇数に対して定義され、後者の場合に適切なインデックスとなります。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle N+P}$${\displaystyle N+P}$${\displaystyle N-P}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N-P}$${\displaystyle N-P}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \tan(\theta )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \tan(\theta ')=\tan(\theta +\pi )=-\cot(\theta )}$${\displaystyle n}$

したがって、（6）と（23）から、偶数については次のようになる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {-{\mathfrak {Im}}[f(x)]}{{\mathfrak {Re}}[f(x)]}}=I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+\cdots }{a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+\ldots }}\quad (25)}$

（１９）と（２４）から奇数については次のようになる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {{\mathfrak {Re}}[f(x)]}{{\mathfrak {Im}}[f(x)]}}=I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+\ldots }{a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+\ldots }}\quad (26)}$

なんと、両方に対して同じコーシー指数を評価しているのです。 ${\displaystyle \Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+\ldots }{a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+\ldots }}\quad (27)}$

シュトゥルムはを評価する方法を示しています。彼の定理は次のように述べられています。 ${\displaystyle \Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}}$

次のような多項式のシーケンスが与えられます。 ${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m}(x)}$

1)ならば、、そして${\displaystyle f_{k}(x)=0}$${\displaystyle f_{k-1}(x)\neq 0}$${\displaystyle f_{k+1}(x)\neq 0}$${\displaystyle \operatorname {sign} [f_{k-1}(x)]=-\operatorname {sign} [f_{k+1}(x)]}$

2) のために${\displaystyle f_{m}(x)\neq 0}$${\displaystyle -\infty <x<\infty }$

を の固定値に対する数列の符号の変化回数として定義すると、次のようになります。 ${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m}(x)}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \Delta =I_{-\infty }^{+\infty }{\frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}=V(-\infty )-V(+\infty )\quad (28)}$

これらの要件を満たすシーケンスは、次の ユークリッドの互除法を使用して取得されます。

およびから始めて、 の余りをで表し、同様に の余りをで表すなどすると、次の関係が得られます。 ${\displaystyle f_{1}(x)}$${\displaystyle f_{2}(x)}$${\displaystyle f_{1}(x)/f_{2}(x)}$${\displaystyle f_{3}(x)}$${\displaystyle f_{2}(x)/f_{3}(x)}$${\displaystyle f_{4}(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&f_{1}(x)=q_{1}(x)f_{2}(x)-f_{3}(x)\quad (29)\\&f_{2}(x)=q_{2}(x)f_{3}(x)-f_{4}(x)\\&\ldots \\&f_{m-1}(x)=q_{m-1}(x)f_{m}(x)\\\end{aligned}}}$

あるいは一般的に

${\displaystyle f_{k-1}(x)=q_{k-1}(x)f_{k}(x)-f_{k+1}(x)}$

ここで、最後のゼロでない余りは、の最大公約数になります。このように構築されたシーケンスは Sturm の定理の条件を満たすことがわかり、指定されたインデックスを決定するアルゴリズムが開発されました。 ${\displaystyle f_{m}(x)}$${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m-1}(x)}$

上記のユークリッド互除法を用いて、シュトゥルムの定理(28)を(29)に適用すると、ラウス行列が形成される。

私たちは

${\displaystyle f_{3}(\omega )={\frac {a_{0}}{b_{0}}}f_{2}(\omega )-f_{1}(\omega )\quad (30)}$

そして、この剰余の係数を、、、、、などと見なすと、形成された剰余は ${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle -c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle -c_{3}}$

${\displaystyle f_{3}(\omega )=c_{0}\omega ^{n-2}-c_{1}\omega ^{n-4}+c_{2}\omega ^{n-6}-\cdots \quad (31)}$

どこ

${\displaystyle c_{0}=a_{1}-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}b_{1}={\frac {b_{0}a_{1}-a_{0}b_{1}}{b_{0}}};c_{1}=a_{2}-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}b_{2}={\frac {b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}}{b_{0}}};\ldots \quad (32)}$

これらの新しい係数に対してユークリッド互除法を続けると、次の式が得られます。

${\displaystyle f_{4}(\omega )={\frac {b_{0}}{c_{0}}}f_{3}(\omega )-f_{2}(\omega )\quad (33)}$

ここで、剰余の係数を、、、、と表記し、形成された剰余は ${\displaystyle f_{4}(\omega )}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle -d_{1}}$${\displaystyle d_{2}}$${\displaystyle -d_{3}}$

${\displaystyle f_{4}(\omega )=d_{0}\omega ^{n-3}-d_{1}\omega ^{n-5}+d_{2}\omega ^{n-7}-\cdots \quad (34)}$

そして私たちに

${\displaystyle d_{0}=b_{1}-{\frac {b_{0}}{c_{0}}}c_{1}={\frac {c_{0}b_{1}-b_{0}c_{1}}{c_{0}}};d_{1}=b_{2}-{\frac {b_{0}}{c_{0}}}c_{2}={\frac {c_{0}b_{2}-b_{0}c_{2}}{c_{0}}};\ldots \quad (35)}$

ラウス配列の行は、このアルゴリズムを(20)の係数に適用することで正確に決定される。注目すべき点は、通常の場合には多項式とが最大公約数を持ち、したがって連鎖内に多項式が存在するということである。 ${\displaystyle f_{1}(\omega )}$${\displaystyle f_{2}(\omega )}$${\displaystyle f_{n+1}(\omega )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m}(x)}$

ここで、の支配的なべき乗における多項式列の要素の符号を決定する際に、が各多項式の最初の項となることに注意してください。したがって、 、および における の最高べき乗に対応する係数、、 、、、...のみが における、、 、 ...の符号を決定します。${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\dots ,f_{m}(x)}$${\displaystyle \omega =\pm \infty }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle f_{1}(x),f_{2}(x),\dots }$${\displaystyle f_{m}(x)}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle f_{1}(x)}$${\displaystyle f_{2}(x)}$${\displaystyle f_{m}(x)}$${\displaystyle \omega =\pm \infty }$

したがって、は、シーケンス、、、、...における符号の変化の数であり、 は、シーケンス、、、、...における符号の変化の数であり、 は、シーケンス、、、、... における符号の変化の数であり、 は、シーケンス、、、、、...における符号の変化の数 です。${\displaystyle V(+\infty )=V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},\dots )}$${\displaystyle V(+\infty )}$${\displaystyle a_{0}\infty ^{n}}$${\displaystyle b_{0}\infty ^{n-1}}$${\displaystyle c_{0}\infty ^{n-2}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle V(-\infty )=V(a_{0},-b_{0},c_{0},-d_{0},...)}$${\displaystyle V(-\infty )}$${\displaystyle a_{0}(-\infty )^{n}}$${\displaystyle b_{0}(-\infty )^{n-1}}$${\displaystyle c_{0}(-\infty )^{n-2}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle -b_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle -d_{0}}$

チェーン、、、、... にはメンバーがあるため、からに移行する場合、内では符号の変化は発生しませんが、 から に移行する場合、 内では符号の変化が発生し 、すべての遷移について同様に(ゼロとなる項はありません)、合計で符号が変化することは明らかです。 ${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle d_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle V(+\infty )+V(-\infty )=n}$${\displaystyle V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},\dots )}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle V(a_{0},-b_{0},c_{0},-d_{0},\dots )}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle -b_{0}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

および、および (18) よりとなり、ラウスの定理が導かれる。 ${\displaystyle \Delta =V(-\infty )-V(+\infty )}$${\displaystyle n=V(+\infty )+V(-\infty )}$${\displaystyle P=(n-\Delta /2)}$${\displaystyle P=V(+\infty )=V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},\dots )}$

右半平面にある実多項式の根の数は、ラウス方式の最初の列の符号の変化の数に等しくなります。${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle {\mathfrak {Re}}(r_{i})>0}$

そして、安定したケースでは、Routhの有名な基準が得られます。 ${\displaystyle P=0}$${\displaystyle V(a_{0},b_{0},c_{0},d_{0},\dots )=0}$

多項式のすべての根が負の実部を持つためには、ラウス方式の最初の列のすべての要素がゼロと異なり、同じ符号であることが必要かつ十分です。${\displaystyle f(z)}$

• ハーウィッツ、A.、「方程式が負の実部を持つ根のみを持つ条件について」、制御理論における数学的傾向に関する選集、編集：RT ボールマン他、ニューヨーク：ドーバー、1964 年
• Routh, EJ, 『運動の与えられた状態の安定性に関する論文』 ロンドン: Macmillan, 1877年。 『運動の安定性に関する論文』 AT Fuller 編。ロンドン: Taylor & Francis, 1975年
• フェリックス・ガントマッハー（JL・ブレンナー訳）（1959）『行列理論の応用』pp177-80、ニューヨーク：インターサイエンス。